概率论与数理统计课堂笔记 前 言
概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。
概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。
预备知识
（一）加法原则
引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。 【答疑编号：10000101针对该题提问】
解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。 一般地有下面的加法原则：
办一件事，有m类办法，其中： 第一类办法中有n1种方法； 第二类办法中有n2种方法； ……
第m类办法中有nm种方法； 则办这件事共有
种方法。
（二）乘法原则
引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 【答疑编号：10000102针对该题提问】 解：从北京经天津到上海的交通方法共有：
①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。 一般地有下面的乘法原则：
办一件事，需分m个步骤进行，其中： 第一步骤的方法有n1种； 第二步骤的方法有n2种； ……
第m步骤的方法有nm种； 则办这件事共有
种方法。
（三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法
1
数叫排列数，记作 排列数 例如：
或。
的计算公式为：
（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组
合数，记作
组合数
或。
的计算公式为
例如：
组合数有性质 （1）
，（2）
=45
，（3）
例如：
例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？ 【答疑编号：10000103针对该题提问】
解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数
（种）
例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？
【答疑编号：10000104针对该题提问】 解：第一步在5件正品中取2件，取法有 （种）
第二步在3件次品中取1件，取法有
（种）
由乘法原则，取法共有10×3=30（种）
第一章 随机事件与随机事件的概率
§1.1 随机事件
引例一，掷两次硬币，其可能结果有： ｛上上；上下；下上；下下｝
则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现
2
的。
引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有： ｛1，2，3，4，5，6｝
则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。 从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。
（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。 虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。
必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。 例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。 （二）基本（随机）事件
随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。 （三）随机事件的关系
（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。
例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。
所以A发生则必然导致B发生。 显然有 （2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。 （四）事件的运算
（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：
或A+B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝ 则和事件A+B=｛1，2，3，5｝ 显然有性质 ①
②若，则有A+B=B ③A+A=A
（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝ 显然有性质：
3
①
②若，则有AB=A ③AA=A （3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B） 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝ 显然有性质： ① ②若，则有A-B=Φ ③A-B=A-AB
（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝ ∴AB=Φ
（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则 显然，对立事件有性质： ① ② ③
注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。
例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。 下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。
图1.1表示事件事件A 图1.2阴影部分表示A+B 图1.3阴影部分表示AB 图1.4阴影部分表示A-B 图1.5表示A与B互不相容
图1.6阴影部分表示
4
事件的运算有下面的规律：
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律 （2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC
（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律
（4）
叫对偶律
例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。 （1）A，B，C三事件中，仅事件A发生 【答疑编号：10010101针对该题提问】 （2）A，B，C三事件都发生
【答疑编号：10010102针对该题提问】 （3）A，B，C三事件都不发生
【答疑编号：10010103针对该题提问】 （4）A，B，C三事件不全发生
【答疑编号：10010104针对该题提问】 （5）A，B，C三事件只有一个发生 【答疑编号：10010105针对该题提问】 （6）A，B，C三事件中至少有一个发生 【答疑编号：10010106针对该题提问】
解：（1） （2）ABC （3） （4） （5）
（6）A+B+C
例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3 【答疑编号：10010107针对该题提问】 解：（1） （2） （3） （4）
例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。
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