广东高考热点题型聚焦(二)《应用题》
市教育局教研室
广东课标高考三年来风格特点
“保持将统计中用抽样样本估计总体的思想与概率的数理分析有机地结合进行考查”
（文理差别较大） 从改变风格，体现创新，强调应用，支持课改考虑
应用问题除关注《三角》应用题外，结合广东课标高考（特别是理科）的实际后阶段应突出应用问题的训练.对于基础较好的理科生要突出函数、数列、不等式综合的问题，强化指定选考科目（不等式选讲）与数列、函数的综合应用.
对于应用问题，需进一步梳理高中阶段可作为应用问题载体和工具类的知识. 一．体现作为工具类的正、余弦定理在测量中的应用（见《三角》部分） 二．体现作为工具作用的不等式（导数）在最值中的应用 参考题目：
1．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生
a米 产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一
块占地1800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出
的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米，其中a:b?1:2.
(Ⅰ) 试用x,y表示S；
y米 b米 x米 (Ⅱ) 若要使S最大，则x,y的值各为多少？
1.解:(Ⅰ)由题可得：xy?1800,b?2a，则y?a?b?6?3a?6?????????2分
S?(x?4)a?(x?6)?b?(3x?16)a?(3x?16)y?63?1832?6x?163y???6分
???11分
(Ⅱ)方法一:S?1832?6x?当且仅当6x?163163y?1832?26x?163y?1832?480?1352y,即x?40,y?45时,S取得最大值1352. ????????14分
方法二:S?1800?6x?163?1800x?32?1832?(6x?9600x)
?1832?480?1352????????????11分 x
96001800当且仅当6x?,即x?40时取等号,S取得最大值.此时y??45. ??14分
xx9600方法三:设 S?f(x)?1832?(6x?)(x?0) ?????????????8分
x?1832?26x?x令f?(x)?0得x?40 f?(x)?960029600?6?6(40?x)(40?x)x2??????????????9分
- 1 -
当0?x?40时,f?(x)?0,当x?40时,f?(x)?0.
∴当x?40时,S取得最大值.此时y?45. ????????????????14分 2．甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x)以及任意的x?0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险.
（Ⅰ）试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义； （Ⅱ）设f(x)=
14x+10,g(x)=x?20,甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，
同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？ 解：（Ⅰ）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，
至少要投入10万元宣传费.
g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，
至少要投入20万元宣传费.??????????????????????3分
（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，???????4分
依题意，当且仅当
1?y?f(x)?x?10??(1)?4 时，双方均无失败的风险. ???????8分 ??x?g(y)?y?20??(2)?由(1)、（2）得y?即4y?14(y?20)?10???????????10分
y?60?0
左边因式分解得：(y?4)(4y?15)?0 ?y?0?4y?15?0 ?y?4?y?16
?x?y?20?4?20?24
?xmin?24,ymin?16.?????????????????????????12分
答: 在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万
元.??13分
3．某旅馆有相同标准的床铺100张，根据经验，当旅馆的床价（即每床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床价高于10元，每提高1元，将有3张床空置。旅馆定价条件是：⑴床价为1元的整数倍；⑵该旅馆每天支出为575元，床位出租收入必须高于支出。若用x表示床价，y表示每天出租床位的净收入（即除去每天支出后的收入）．
①把y表示成x的函数，并求出其定义域； ②如何定价，该旅馆每天净收入最多？
解：①依题意x?N*，100x?575，所以x?6，当6?x?10时，y?100x?575；
- 2 -
x?10时，由x[100?3(x?10)]?575和x?N*，解得x?38，当10?x?38时，y?x[100?3(x?10)]?575??3x?130x?575。
2?100x?575 , x?N*, 6?x?10,综上所述，y?f(x)??． 2?3x?130x?575 , x?N*, 10?x?38.?②二次函数y??3x2?130x?575的对称轴x??1302?(?3)?653，因为x?N*，直接
计算知f(10)?425，f(21)?832，f(22)?833，比较得，每床每天的租金为22元时，该旅馆每天净收入最多．
4．国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.
签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元.
（Ⅰ）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（Ⅱ）当x?50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？ （参考数据：1.0518192021?2.406,1.05?2.526,1.05?2.653,1.05?2.786）
解：（Ⅰ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为an构成等差数列，其中a1?500?x，公差为x. 从而，到第36个月，凌霄共还款12?500?24a1?令12?500?(500?x)?24?24?(24?1)224?(24?1)2?x
?x?24000，解之得x?20（元）.
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元. （Ⅱ）设凌霄第n个月还清，则应有 12?500?(500?50)?(n?12)?(n?12)?(n?12?1)23?33212?50?24000
2整理可得n?3n?828?0，解之得n??30，取n?31.
即凌霄工作31个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为
24000?[12?500?(500?50)?(30?12)?(30?12)?(30?12?1)2?50]?450元
第31个月凌霄的工资为1500?1.05
19?1500?2.526?3789元.
- 3 -
因此，凌霄的剩余工资为3789?450?3339，能够满足当月的基本生活需求.
三．作为知识载体的函数（数列）类应用问题 （1）基于文字阅读理解上的简单建模
参考题：某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第 开始一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．
n=2002（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？
i＝1（2）右图是某同学设计的解决问题（１）的程序框图，则框图中ｐ，ｑ，
ｒ处应填上什么条件？
s＝0（3）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率 为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？ t=100+50x(i-1)（精确到１立方米, 1.28?4.3）
解：（1）设植树ｎ年后可将荒山全部绿化，记第ｎ年初植树量为an，
依题意知数列{an}是首项a1?100，公差d?50的等差数列，-----------1分 则100n?n(n?1)2?2200即n?3n?88?0?(n?11)(n?8)?0------3分 2s=s+tpqr?是输出n结束否∵n?N? ∴n?8----------------------------------------------------4分 ∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．---------------------------------5分 （２）ｐ处填n?n?1,ｑ处填i?i?1，（或ｐ处填i?i?1，ｑ处填n?n?1）-----7分 ｒ处填s??2200．(或s?2200)-------------------------------------------9分 （３）2002年初木材量为2a1m3，到2009年底木材量增加为2a1(1.2)m3, 2003年初木材量为2a2m3，到2009年底木材量增加为2a2(1.2)m3,?? 2009年初木材量为2a8m3，到2009年底木材量增加为2a8?1.2m3. 则到2009年底木材总量S?2a1?1.2?2a2?1.2?2a3?1.2???2a8?1.2
S?900?1.2?800?1.2???400?1.2?300?1.2?200?1.2----------①---11分 1.2S?900?1.2?800?1.2???400?1.2?300?1.2?200?1.2---------②
23789267887678②-①得
0.2S?200?1.2?100?(1.2?1.2???1.2)?900?1.29238?700?1.2?500?1.2?900?1.2?840?1.2?1800?840?4.3?1800?1812
928∴S?9060ｍ
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2
----------------------------------14分
2
- 4 -
（2）基于图形基础上建模
参考题：有三个生活小区,分别位于A,B,C三点处，且AB?AC?207，BC?403. 今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且?ABO?27?.
(Ⅰ) 若希望变电站P到三个小区的距离和最小， 点P应位于何处？
(Ⅱ) 若希望点P到三个小区的最远距离为最小， 点P应位于何处？ 解：在Rt?AOB中,AB?207,0B?203,则
|OA|?(207)?(203)?40 ??1分
22yAPBOCx（Ⅰ）方法一、设?PBO??(0???点P到A,B,C的距离之和为
y?2?203cos?27?),
?40?203tan??40?203?2?sin?cos??5分
27y??203?2sin??1cos?2,令y??0即sin??12,又0????,从而???6
当0???∴当???6时,y??0;当
?6???2??6时,y?40?203??672?sin?cos?33时, y??0. 取得最小值
此时OP?203tan?203??20,即点P为OA的中点. ??8分
方法二、设点P(0,b)(0?b?40),则P到A,B,C的距离之和为
2f(b)?40?b?2b?1200(0?b?40),求导得f?(b)?2bb?12002?1 ??5分
由f?(b)?0即2b?b?1200,解得b?20
2当0?b?20时,f?(b)?0;当20?b?40时, f?(b)?0
∴当b?20时,f(b)取得最小值,此时点P为OA的中点. ??8分 （Ⅱ）设点P(0,b)(0?b?40),则|PA|?40?b,|PB|?|PC|?点P到A,B,C三点的最远距离为g(b) ①若|PA|?|PB|即40?b?②若|PA|?|PB|即40?b?b?1200?0?b?5,则g(b)?40?b; b?1200?5?b?40,则g(b)?22b?1200 2b?1200;
2
- 5 -