插值和拟合的定义
1.定义： 若x为自变量，y为因变量，则x与y之间有一个确定的函数表达式f（x），现实中，这个函数关系式很难确定，运用逼近的方法处理：取得一组数据点（xi,yi,i=1,2,3...n）,构造一个简单函数p(x)作为f(x)的近似表达式，且p(x)满足： p(xi)=f(xi)=yi i=1,2,3,4...n 这就是插值问题。
若不要求p(x)通过所有数据点，而是要求曲线在某种准则下整体与数据点接近，例如运用最小二乘法得到p(x),这种问题称为拟合。
2插值类型：一维插值是指对一维函数y=f(x)进行插值，二维插值就是对二维函数y=f(x,y)进行插值.
3.插值的matlab函数及其应用
（1）.一维插值：yi=interp1(x,Y,xi，’method’)，对一组节点（x,Y）进行插值，计算插值点xi的函数值。method包括了一下几种类型：
Nearest：线性最邻近插值（速度最快，平滑性最差） Linear：线性插值（默认项）（生成效果连续，但是顶点处有坡度变化） Spline：三次样条插值（运行时间较长，插值数据和导数均连续） Pchip：分段三次艾米尔特（hermite）插值
Cubic：双三次插值（较高版本的matlab不能运用，v5cubic能够运行） 运行的代码及插值效果：
clear; clc; x=0:0.2:2;
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-3*x).*sin(x); xi=0:0.03:2;
yi_nearest=interp1(x,y,xi,'nearest'); yi_linear=interp1(x,y,xi,'linear'); yi_spline=interp1(x,y,xi,'spline'); yi_pchip=interp1(x,y,xi,'pchip'); yi_cubic=interp1(x,y,xi,'v5cubic'); figure; hold on;
subplot(2 ,3, 1); plot(x,y,'r*'); title('已知数据值'); subplot(2, 3 ,2);
plot(x,y,'r*',xi,yi_nearest,'b-'); title('最邻近插值');
subplot(2,3,3);
plot(x,y,'r*',xi,yi_linear,'b-'); title('线性插值'); subplot(2,3,4);
plot(x,y,'r*',xi,yi_spline,'b-'); title('三次样条插值'); subplot(2,3,5);
plot(x,y,'r*',xi,yi_pchip,'b-'); title('分段三次艾尔米特插值'); subplot(2,3,6);
plot(x,y,'r*',xi,yi_cubic,'b-'); title('三次多项式插值');
(2).二维插值：第一类，二维网格数据插值zi=interp2（x,y,z,xi,yi，’method’）,其中x，y为数据采样点，即为真实所测得的数据，返回值为xi，yi的插值函数值。 method与一维插值相同。
各个方法所得的插值效果和代码如下：
clear;clc;
[x,y]=meshgrid(-3:0.25:3); z=peaks(x,y);
[xi,yi]=meshgrid(-3:0.125:3); z1=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');
z2=interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest'); z3=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline'); z5=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic'); subplot(2,2,1); mesh(x,y,z); hold on;
mesh(xi,yi,z1+15); axis([-3,3,-3,3,-8,25]); title('二维网格双线性插值'); subplot(2,2,2); mesh(x,y,z); hold on;
mesh(xi,yi,z2+15); axis([-3,3,-3,3,-8,25]); title('二维网格最邻近插值'); subplot(2,2,3); mesh(x,y,z); hold on;
mesh(xi,yi,z3+15); axis([-3,3,-3,3,-8,25]); title('二维网格样条插值'); subplot(2,2,4); mesh(x,y,z); hold on;
mesh(xi,yi,z5+15); axis([-3,3,-3,3,-8,25]); title('二维网格双三次插值');
第二类:二维散点数据插值：zi=griddata（x，y，z，xi，yi，’method’），各个输入值与interp2 的相同，不再赘述。Method为Cubic不能运行，应采用v4方法进行插值。运行代码的效果图如下：
clear;clc; rand('seed',0); x=rand(100,1)*4-2; y=rand(100,1)*4-2; z=x.*exp(-x.^2-y.^2); ti=-2:0.25:2;
[xi,yi]=meshgrid(ti,ti);
z1=griddata(x,y,z,xi,yi,'linear'); z2=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic'); z3=griddata(x,y,z,xi,yi,'nearest'); z4=griddata(x,y,z,xi,yi,'v4'); subplot(2,2,1); mesh(xi,yi,z1); hold on;
title('线性插值'); plot3(x,y,z,'o'); subplot(2,2,2); mesh(xi,yi,z2);
hold on;
plot3(x,y,z,'o'); title('三次插值'); subplot(2,2,3); mesh(xi,yi,z3); hold on;
plot3(x,y,z,'o'); title('最邻近插值') subplot(2,2,4); mesh(xi,yi,z4); hold on;
plot3(x,y,z,'o'); title('v4插值');
三维插值的matlab函数有interp3，三维数据网格产生的函数为ndgrid。若想详细了解，请参考matlab的help文档。
(二).拟合的matlab函数调用
（1）多项式拟合：一般多项式拟合的目的是找出一组多项式系数ai（i=1 ,2,3,4...n+1）使得多项式
?(x)?a1xn?a2xn?1?a3xn?2?...?an?1能够较好的拟合数据。调用格式如下：
[p,s,mu]=polyfit（x,y,n）,对x,y进行n维多项式最小二乘法拟合，输出结果p为n+1个