l1?a?b?3i?j，l2?a?b?i?3j?2k
因为|l1?l2|?|2i?6j?10k|?140, |l1?l2|140??1|l1||l2|10?14.
|l1|?10, |l2|?14 sin??所以
即为所求对角线间夹角的正弦.
31. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，点M，N，P分别是AB，BC，CA的中点，证明：
MN?MP?1(AC?BC)4.
证明：中点M，N，P的坐标分别为
31M(1,1,), N(?1,3,?), P(0,1,3)22
MN?{?2,2,?2}
3MP?{?1,0,}2
AC?{?4,4,?4}
BC?{?2,0,3}
2?2?2?2?2MN?MP?i?j?33?10?1224?4?44?4AC?BC?i?j?033?2?21MN?MP?(AC?BC)4故 .
2k?3i?5j?2k0
4k?12i?20j?8k0
32. 求同时垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.
解：设横轴向量为b=(x,0,0) 则同时垂直于a，b的向量为
a?b?344223i?j?k000xx0=4xj－3xk
故同时垂直于a，b的单位向量为
e??a?b1??(4j?3k)|a?b|5.
33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.
解：设四顶点依次取为A, B, C, D. 则由A，B，D三点所确定三角形的面积为
AB?{0,1,2}, AD?{2,?2,1}
1135|AB?AD|?|5i?4j?2k|?222.
1,2,32同理可求其他三个三角形的面积依次为. S1?S?故四面体的表面积
135?2?3?22.
34. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线. 证明：显然
AB?{1,3,4},AC?{2,6,8}
AC?2AB
则AB?AC?AB?2AB?2(AB?AB)?0 故A，B，C三点共线.
35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行 故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)
故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0 即3x-2y+6z+2=0.
36. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.
1,7,?3} 解：所求平面的法向量可取为n?OM0?{故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0 即x+7y-3z-59=0
37. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程. 解：设平面在y轴上的截距为b
xyz???12bb2b则平面方程可定为
又(1,2,-1)在平面上，则有
得b=2.
12?1???12bb2b
xyz???1故所求平面方程为424
38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知
x?x1x2?x1x3?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0z3?z1 x?11?1y?1z?1?2?1?2?12?1?0代入三已知点，有 化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.
39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) x – y =0; (5) 2x-3y+4z=0.
解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2） (2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)
?1?12?1
图7-2 图7-3
(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)
(4) x –y=0表示过z轴的平面（如图7-5）
(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.
图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0 则其法向量为n={A,B,C}
已知平面法向量为n1={1,1,-1} 过已知两点的向量l={1,1,1} 由题知n·n1=0, n·l=0
?A?B?C?0 ?C?0, A??B.?A?B?C?0即?
所求平面方程变为Ax-Ay+D=0
又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0 故平面方程为x-y=0.
41. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：
π（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成4的角.
解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k-2×6=9 得k=-4.
（2） 两平面的法向量分别为 n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}
cos??且
n1?n2?3kπ2??cos?|n1||n2|42 5?k2?14702
k??解得
42. 确定下列方程中的l和m:
(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直. 解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}
n1n2?(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}
2l32???m??,l?18m?6?13
43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.
解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 其法向量n={A,B,C}
n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}
n1?n2?3?1?5?3?l?2?0?l?6.
又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0 故所求平面方程为
2?A??C?n?n1?A?B?C?0?3??n?n2?2A?B?C?0?CB??3 ?
即2x-y-3z=0
44. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量. 解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}.
2C?Cx?y?Cz?033
n?n1,n?n2 n?n1?n2?故
?17733?1i?j?k?5i?j?2k?12211?1
en??则
45. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为
s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}
故直线的标准方程为：
1(5i?j?2k).30
x?1y?2z?1x?3y?1z?1????23?2 或 23?2
（2）直线方向向量可取为
s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}
故直线的标准方程为：
x?3y?1zx?1yz?3?????21?3 或 ?21?3
?2x?3y?z?4?0?46. 求直线?3x?5y?2z?1?0的标准式方程和参数方程.
解：所给直线的方向向量为
s?n1?n2?
另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:
3?1?1223i?j?k?i?7j?19k?52233?5
且直线的参数方程为：
xy?7z?17??1?7?19
47. 求下列直线与平面的交点：
?x?t??y?7?7t?z?17?19t?
(1)
(2)
x?1y?1z??1?26, 2x+3y+z-1=0; x?2y?1z?3??232, x+2y-2z+6=0.
?x?1?t??y??1?2t?z?6t解：（1）直线参数方程为?
代入平面方程得t=1 故交点为（2，-3，6）.
?x??2?2t??y?1?3t?z?3?2t（2） 直线参数方程为?
代入平面方程解得t=0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：
?5x?3y?3z?9?0?（1）?3x?2y?z?1?0和 ?2x?2y?z?23?0??3x?8y?z?18?0； ?y?3z?8???2??1??x?1
x?2y?3z?1??4?123 和 （2）
解：（1）两直线的方向向量分别为：
ijk5?333?21={3,4, -1}
s={5, -3,3}×{3, -2,1}=
1
ijk22?1381={10, -5,10}
s2={2,2, -1}×{3,8,1}=
由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1⊥s2
π从而两直线垂直，夹角为2.
x?2y?3z?1??4?123的方向向量为
(2) 直线
?y?3z?8???2??1?s1={4, -12,3},直线?x?1的方程可变为
?2y?z?2?0??x?1?0,可求得其方向向量s2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是
s?s6cos??12??0.2064s1?s213549. 求满足下列各组条件的直线方程： （1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；
??78?5?
xy?3z?1??2?13平行. （3）过点（-1，2，1），且与直线
解：（1）可取直线的方向向量为
s={3，-1，2}
故过点（2，-3，4）的直线方程为
（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量
x?2y?3z?4??3?12