ijk故过点（0，2，4）的直线方程为
s?n1?n2?102?{?2,3,1}01?3
xy?2z?4???231
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x?1y?2z?1??2?13.
50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：
x?3y?4z???2?73和4x-2y-2z=3; （1）xyz???27和3x-2y+7z=8; （2）3x?2y?2z?3??31?4和x+y+z=3. （3）
解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3}
平面的法向量n={4，-2，-2}，所以 于是直线与平面平行.
s?n?(?2)?4?(?7)?(?2)?3?(?2)?0
又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有4?(?3)?2?(?4)?2?0??4?3.故直线不在平面上.
(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.
(3) 直线在平面上，因为3?1?1?1?(?4)?1?0,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线
的平面方程.
?x?2y?z?3?0??x?y?z?3?0
ijk1?21?i?2j?3k11?1解：直线的方向向量为,
取平面法向量为{1，2，3}，
故所求平面方程为1?(x?1)?2(y?2)?3(z?1)?0
即x+2y+3z=0.
52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为2x?3y?z?3??(x?3y?2z?1)?0 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）
故2?1?3?(?2)?3?3??(1?3?(?2)?2?3?1)?0 解得λ=-4.
故所求平面方程为
2x+15y+7z+7=0
53. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.
解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即
s=n={1，2，-1}
?x??1?t??y?2?2t?z??t所以垂线的参数方程为?
将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0
t??得
23
522(?,,)333 于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点
54. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.
解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}
?x?1?t?
?y?2?2t?z?1?2t
所以垂线的参数方程为?
t?将其代入平面方程得
13.
122222485d?()?()?()?1(,,)333故垂足为333，且与点（1，2，1）的距离为
即为点到平面的距离.
?x?y?z?1?0?55. 求点（3，-1，2）到直线?2x?y?z?4?0的距离.
解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量
ijkn?s?11?1??3j?3k2?11即
故过已知点的平面方程为y+z=1.
?x?y?z?1?0??2x?y?z?4?0?y?z?1联立方程组? 13x?1,y??,z?.22 解得
13(1,?,)22为平面与直线的垂足 即
1332d?(1?3)2?(??1)2?(?2)2?.222 于是点到直线的距离为
56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.
222R?1?3?(?2)?14.
解：球的半径为
设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14 即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.