浙江理工大学继续教育学院2014学年第一学期
《概率论与数理统计》试卷（A卷）
装 考试时间：90分钟 闭卷 任课老师：
班级： 学号： 姓名： 成绩：
一、填空题（每题3分，共18分）
1．A,B是两个随机事件，P(A)?0.7，P(A?B)?0.3，则P(AB)?___________。
2．三个人独立地破译密码，他们能译出的概率分别为15、14、13，此密码能被译出的概率为_____________。3．已知随机变量?~N(3,16)，且P(??c)?P(??c)，则c?___________。
4．设X和Y是相互独立的两个随机变量，且X服从（－1，2）上的均匀分布，Y~N(1,4)，则E(XY)?________，
D(XY)?________。
订 5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)???cxy,0?x?2,0?y?1，则?0,其它c?____ ，P(X?1)?________。 6．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 P 2a 0.1 0.3 a 0.3 则常数a= 。
二.选择题（每题3分，共18分）
1．设A,B为随机事件，且P(B|A)?1，则必有( )
线 (A)A是必然事件 (B)P(B|A)?0
(C)A?B (D)A?B
2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进
行4次，记X为红球出现的次数，则X的数学期望E(X)?( )
(A)162444210 (B)10 (C)?610 (D)10.
3．设随机变量X的分布密度函数和分布函数为f(x)和F(x), 且f(x)为偶函数, 则对任意实数a,有( )
(A) F(?a)?12??a0f(x)dx (B) F(?a)?1??a0f(x)dx
(C) F(?a)?F(a) (D) F(?a)?2F(a)?1
4．设随机变量X和Y相互独立, 且都服从(0,1)区间上的均匀分布, 则仍服从
均匀分布的随机变量是( )
(A)Z?X?Y (B)Z?X?Y (C)(X,Y) (D)(X,Y2)5．已知随机变量X和Y都服从正态分布:X~N(?,42),Y~N(?,32), 设
p1?(X???4),p2?P(Y???3), 则( )
(A) 只对?的某些值,有p1?p2 (B) 对任意实数?,有p1?p2
(C) 对任意实数?,有p1?p2 (D) 对任意实数?,有p1?p2
6．如果函数
f(x)=??x,a≤x≤b;?0,x?a或x?b
是某连续随机变量X的概率密度，则区间[a,b]可以是（ ） (A)〔0，1〕 (B)〔0，2〕 (C)〔0，2〕 (D)〔1，2〕 三、（8分）已知离散型随机变量?的分布列为
????02?????111?? ?424??求??cos?的分布列。
1
四、（15分）设连续型随机变量?的密度函数为
?p(x)??1?2(1?x),?1?x?1 ??0,其它求：1）P???0.5?；2）??2??1的密度函数p?(y)；3）E(?2?1)。
五、（14分）设(?,?)的联合密度函数为
?p(x,y)??1?4?1?xy(x2?y2)?,x?1,y?1
??0,其它求?＋?的分布密度函数。
六、（15分）设??n?为独立同分布随机变量序列，每个随机变量的期望为a，且方差存在，证明
2nn(n?1)?k??Pk?a。 k?1
七、（12分）设母体?的密度函数为f(x)?(??1)x?，求其中参数?的矩法估计和极大似然估计。
2
概率论与数理统计试卷A参考答案
一、填空题（每题3分，共18分）
1．0.4 ；2．0.6 ；3．3 ；4．0.5，1 ；5．1，0.5；6． 0.1． 二.选择题（每题3分，共18分）
1．(C)；2．(B)；3．(A)；4．(C)5．(D)6． (C) ．
三、（8分）
解：??cos?的分布列为
???101??111??424? ? 四、（15分） 解：1）P???0.5?＝P??0.5???0.5?（3分）
?0.51＝?0.52(1?x)dx?0（5分）
2）p1y?1??1(3?y),?3?y?1?(y)?2p(2)??8 (5分) ??0,其它 3）E(?2?1)??0.5?0.5(x2?1)12(1?x)dx?1??23 （5分) 五、（14分）
解：设?＋?的分布密度函数为p???(y)，则由卷积公式
p?????(y)????p(x,y?x)dx?0的充要条件是x?1且y?x?1，即?1?x?1，y?1?x?y?1。（得到这个范围给3分）
当?2?y?0时，
py?11???(y)???14?1?x3(y?x)?x(y?x)3?dx?y?24（给5分） 当0?y?2时，py)??111?x32?y???(y?14?(y?x)?x(y?x)3?dx?4（给5分）
?综合得p)??(2?y)?,y???(y4?2（这一步1分）
??0,其它六、（15分）
证：已知E?2nn?a，记D?n??2，令?n?n(n?1)?k??k，则 k?1nE?n?a（本步3分）
，D?4?2n?(n?1)2?k24?22?（本步6分） k?1nn?1对任给的??0，由契巴晓夫不等式得
P(?a??)?114?2n??2D?n??2n?1?0,n??。命题得证。（本步6分）
七、（12分）
解：1）求矩法估计：由E???1?10(??1)x?dx?1?1??2得矩法方程 1?1^?_?1?^???，
（本步4分）解得?的矩法估计??22分）
?21???（本步2?n）求极大似然估计：似然函数L(?)?(??1)x?i，两边取对数，令其为0，得
i?1nn??1??lnxi?0 i?1^2解得???1?n（本步4分）。又由
?lnL?nlnx??2???^??n^?0，知是极大似然估计。（本步2分）i(??1)2i?1
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