合 肥 学 院
Hefei University
系别： 化学与材料工程系 专业： 化学工程与工艺 班级： 姓名：
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关于奈维-斯托克斯方程的分析
牛顿第二定律在不可压缩粘性流动中的表达式。简称N-S方程。此方程是法国力学家、工程师C.-L.-M.-H.奈维于1821年创立，经英国物理学家G.G.斯托克斯于1845年改进而确定的。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
直角坐标系下： x分量
Dux?2ux?2ux?2ux?p???ux?uy?uz???X???(2??)?(??) D??x?x?y2?z23?x?x?y?zy分量
?2uy?2uy?2uy?p???ux?uy?uz???Y???(2??)?(??) 22D??y?x?y?z3?y?x?y?zDuy z分量
Duz?p?2uz?2uz?2uz???ux?uy?uz???Z???(2?2?2)?(??) D??z?x?y?z3?z?x?y?z 将以上三式写成向量形式，为
?Du1??fB??p???2u???(?u)D?3
上式称为牛顿型流体的运动方程，或奈维—斯托克斯方程。该方程对稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体均适用。但需指出，本构方程是针对牛顿型流体而言的，故该方程仅适用于牛顿型流体。
对于不可压缩流体，?=常数，此时无论是稳态流动还是非稳态流动，连续
?ux?uy?uz???0 性方程为 ?x?y?z 将上式带入奈维—斯托克斯方程有：
x分量
Dux?ux?ux?ux?ux?2ux?2ux?2ux1?p?ux?uy?uz??X???(2?2?2) D??x?y?z????x?x?y?zy分量
Duy?2uy?2uy?2uy1?p?ux?uy?uz??Y???(2??2) D??x?y?z????y?x?y2?z?uy?uy?uy?uyz分量
Duz?uz?uz?uz?uz1?p?2uz?2uz?2uz?ux?uy?uz??Z???(2?2?2) D??x?y?z????z?x?y?z写成向量形式，为
Du1?fB??p???2u D??式中???/?为流体的运动粘度，或称动量扩散系数。
（一）可解性
原则上讲，奈维-斯托克斯方程是可以用数学方法求解的。但事实上，到目前为止，还无法将奈维-斯托克斯方程的普遍解求出。其原因是方程组的非线性以及边界条件的复杂性，只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。
奈维-斯托克斯方程描述的是任一瞬时流体质点的运动规律。原则上讲，方程既适用于层流，也适用于湍流。但实际上只能直接用于层流，而不能直接求解湍流问题。这是由于在湍流中流体质点呈高频随机脉动，因此各物理量亦高频脉动，而无法追踪这些极为错综复杂的流体质点和旋涡的运动规律。
（二）初始条件与边界条件
对于具体的流体问题，在求解运动方程时给一定的初始及边界条件。初始条件指??0时，在所考虑的问题中给出下述条件：
u?u(x,y,z),p?p(x,y,z)
边界条件的形式很多，下面仅列出3种最常见的边界条件：
1、静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，u=0。 2、运动固面：在运动固面上，流体应满足u流=u固。
3、自由表面：自由表面指一个流动的液体暴露于空气中的部分界面。在自由表面上应满足
?ii??p,?ij?0 (i,j?x,y,z)
上式表明，在自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量等于零。
（三）关于重力项的处理
由第一章关于流体静力学的讨论可知，对于不可压缩流体有
X?1?ps1?ps1?ps Y? Z? ??x??y??z式中ps为流体的静压力。
将以上3式带入不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程式，可得
Dux?2ux?2ux?2ux1?(p?ps)????(2?2?2)D???x?x?y?z
Duy?2uy?2uy?2uy1?(p?ps)????(2??2)2D???y?x?y?z
Duz1?(p?ps)?2uz?2uz?2uz????(2?2?2) （1） D???z?x?y?z令pd?p?ps （2） 式中pd为流体的动力压力，简称动压力，它是流体流动所需的压力。 将（2）带入（1），可得
Dux?2ux?2ux?2ux1?pd????(2?2?2) D???x?x?y?zDuy?2uy?2uy?2uy1?pd????(2??2)D???y?x?y2?z
Duz1?pd?2uz?2uz?2uz????(2?2?2) D???z?x?y?z写成向量形式为
Du1???pd???2u （3） D??式中（2）（3）是以动压力梯度表示的运动方程,式中不出现重力项。从物理意义上讲，如果从流体流动的压力中减去静压力则得动压力，而后者仅与流体的运动速度有关。
引入动压力可以是方程中不出现重力项，从而使方程的求解变得更容易。但是这并不意味着重力在任何情况下都不对速度u发生影响，因为在求解实际问题时除了方程之外还必须考虑边界条件。在此必须区别两种情况：（1）如果边界条件中只包含速度而不包含压力，则引入变换式后，对边界条件而不发生任何影响，此时重力同样不出现在边界条件中。由此可以确信，在这种情形下中理想的存在除对压力发生作用产生静压力外，不再对其他物理量包括速度u产生任何效应。（2）如果边界条件中出现压力，则引入公式后，原来不包含g的边界条件中将出现g，重力通过边界条件又重新出现了，它仍将对速度起作用。
通过上述讨论可知，只有在所述问题的边界条件中仅含速度时，采用以动压力梯度表示的运动方程求戒才是有效的。通常封闭通道中的流体流动问题可采用此方程求解，而有自由表面的流动情况用此式是不适宜的。最后应指出，以动压力梯度表示的运动方程式仅适用于不可压缩流体。
（四）奈维-斯托克斯方程简化
对平壁间流动,假设流体为不可压缩流体,且所考察的部位远离流道的进出口，流体仅沿
x
方向稳态流动,奈-维方程可以简
???ux??uy??uz?????ux??化:????????0 ??x????y?z?x????对不可压缩流体仅沿x 方向上的稳态流,连续性方程可以简化：
??2ux?2ux?2ux?????ux?uy?uz?Dux???? ???X?????2?2????2????D??x?x?z?3?x??x?y?z???y?2ux?p于是 在x方向上的奈维-斯托克斯方程可以简化为: ??2 ?x?y对z方向上的奈维-斯托克斯方程可以简化为: ?p?0 ?z对y方向的奈维-斯托克斯方程可以简化为: 由y方向的奈维-斯托克斯建华方程有：
?????g?p?x,y????gy?k?x? ?y?p???g ?y对上式求导： ?pdk?x?? ?xdx?2ux1?p于是可以得出： 2??常数 ?y??x这是一个二阶线性常微分方程，它满足以下边界条件：
y?y0?ux?0y?0?dux/dy?0
1?p22y?y0 2??x解微分方程同时利用边界条件得出流体流速分布关系ux???在平壁中心处，流体的速度达到最大，于是有：umax?1?p2y0 2??x??y?2?速度分布于最大速度的关系为：ux?umax?1???y??? ???0???y0Vs2?0uxdy1?p2平均速度为：ub????y0 AA3??x于是有：ub?23?u?pumax 于是沿x方向的压力梯度为：??2b 3?xy0由上式得出计算流动阻力的关系为：?pfL??3?u?P?P????2b ?x?xy0平辟面上的降落液膜流动：流体在重力作用下成膜状沿壁面下流。液膜内流动速度很慢，呈稳定层流流动，液膜的一侧紧贴壁面，另外一侧为自由表面。一下运动方程在这种情况下的应用进行讨论。