2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
自我小测
1．直线l过点A(2,1)，B(3，m)(m∈R)，则直线l的斜率的范围为( ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1] 2．若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( ) A．若α1<α2，则两直线的斜率k1 ①一条直线必是某个一次函数的图象； ②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线； ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程； ④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线． 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是( ) 2 2 D．若两直线的斜率k1＝k2，则α1＝α2 5．油槽储油20 m，从一管道等速流出，50 min流完．关于油槽剩余油量Q(m)和流出时间 3 3 t(min)之间的关系用图可表示为( ) 1 6．若a＝ ln2ln3ln5，b＝，c＝，则( ) 412A．a y＝__________． 9．直线l过点A(1,2)且不过第四象限，则l的斜率k的取值范围是________． 10．如图所示，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？ 11．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围． 12．设直线l与坐标轴的交点分别为M(a,0)，N(0，b)，且ab≠0，斜率为k，坐标原点到直线l的距离为d． 试证：(1)b＝－ka； (2)ak＝d(1＋k)； (3) 22 2 2 111＝＋． 222dab 2 参考答案 1．解析：由斜率公式求得斜率k＝m－1，故k≥－1． 答案：A 2．答案：D 3．解析：y＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y＝kx＋b中的k≠0，所以①不正确．当一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的b＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．由直线方程的定义可知③④均不正确． 答案：A 4．解析：直线l1的斜率为a，在y轴上的截距是－b；直线l2的斜率为b，在y轴上的截距是a．对于A项中的图，由直线l1知斜率a＜0，在y轴上的截距－b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＞0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾．对于B项中的图，由直线l1知斜率a＞0，在y轴上的截距－b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件相容．对于C项中的图，由直线l1知斜率a＜0，在y轴上的截距－b＞0，即 2 b＜0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾．对于D项中的图，由 直线l1知斜率a＞0，在y轴上的截距－b＜0，即b＞0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾． 答案：B 5．解析：由题意，得Q＝20－ 20t,0≤t≤50，它表示一条线段，排除A，C项，又因为斜50率为－ 22，而D项中的图所表示的线段的斜率为，不合题意．故选B． 55lnxlnx?0＝表示函数y＝ln x图象上的点(x，y)与点D(1,0)连线的斜率，如x?1x?1答案：B 6．解析： 图所示． 令a＝kDA，b＝kDB，c＝kDC，由图知kDC x?(?1)3 由 y?(?1)＝－2，解得y＝5． ?4?(?1)答案：－3 5 9．解析：在平面直角坐标系中观察适合题意的直线，再求斜率的范围．如图所示，当直线 l在l1位置时，k＝0；当直线l在l2位置时，k＝ 围是[0,2]． 2?0＝2，故直线l的斜率的取值范1?0 答案：[0,2] 10．解：直线AB的斜率kAB＝ 1?21＝； ?4?37直线BC的斜率kBC＝ ?21?1?1＝＝－； 420?(?4)?1?2?3＝＝1． 0?3?3直线CA的斜率kCA＝ 由kAB>0及kCA>0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角． 11．解：如图所示，直线l与线段AB相交，只需直线l绕点P按逆时针从PB转到PA，即为直线l的范围． 因为kPB＝ 3，kPA＝－4，但过点P且垂直于x轴的直线的斜率是不存在的，所以在旋转4过程中，l的斜率由kPB变化到无穷大，此时倾斜角在增大．当倾斜角转过90°时，斜率又由无穷小到kPA，所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪?,???． ?3?4?? 4