空间立体几何 讲义（1）
???????1.给定三个向量v1?(1,0,1)，v2?(1,1,0)，v3?(1,1,k2?k?1)，其中k是一个实数，若存
在非零向量同时垂直这三个向量，则k的取值为 ( ) A．
1?25 B．
?1?25 C．
5?12 D．
1?5?1?5 ,222.已知空间四边形ABCD中，O是空间中任意一点，OA?a，OB?b，OC?c点M在OA
上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN=（ ） A．C．
1212a?a?2312b?b?1212c
c
B．?D．
2323a?2312b?1212c
a?b?c
3.如图5—1，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1=a，A1D1=b，
A1A=c．则下列向量中与B1M相等的向量是
（ ）
图5—1 A．－
12a+
12b+c B．
12a+
12b+c C．
12a－
12b+c D．－
12a－
12b+c
4.已知向量a?(2,?3,5)与向量b?(?4,x,y)平行,则x, y的值分别是（ ）
A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和10
5.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM?xOA?的值为（ ） A．
1212OB?13OC 则x B．
13 C．
16 D．0
6.如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，
则AB?12BC?12BD等于（ ）
A．AD C．AG
B．GA D．MG
7.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则四个数量积：①2BA?AC；②2AD?BD；③2FG?AC；④
2EF?CB中，结果为a的共有
2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.若A(1,?2,1)，B(4,2,3)，C(6,?1,4)，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9.下列命题中：
① 若向量a、b与空间任意向量不能构成基底，则a∥b 。 ② 若a∥b， b∥c，则c∥a .
③ 若 OA、OB 、OC是空间一个基底，且 OD=
B、C、D四点共面。
④ 若向量 a+ b， b+ c， c+ a是空间一个基底，则 a、 b、 c也是空间的一
个基底。其中正确的命题有（ ）个。
A 1 B 2 C 3 D 4
13OA＋
13 OB＋
13OC ,则A、
10.下面命题正确的个数是（ ）
??????????①若p?2x?3y，则p与x、y共面；
????????????②若MP?2MA?3MB，则M、P、A、B共面； ?????????????????③若OA?OB?OC?OD?0，则A、B、C、D共面；
????1????5????1????④若OP?OA?OB?OC，则P、A、B、C共面；
263A．1 B．2 C．3 D．4
11.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点
?????????????????????G在线段MN上，且MG?2GN，现用基向量OA,OB,OC表示向量，设
????????????????OG?xOA?yOB?zOC，则x、y、z的值分别是( )
A. x＝
13131316，y＝
13131613，z＝
13161313
B. x＝，y＝，z＝
C. x＝，y＝，z＝
D. x＝，y＝，z＝
12.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，
F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为………………( )
0 （A）6 （B） 2 （C）25 （D） 27
13.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点
A、B、C一定共面的是（ ）
??????????????????????????????????A．OM?OA?OB?OC B．OM?2OA?OB?OC
?????????1????1?????????1????1????1????C．OM?OA?OB?OC D．OM?OA?OB?OC
2323614.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，
BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 A．45° B．60° C．90° D．120°
( )．
15.已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为
BC 的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为 （ ）
A.
34 B.
54 C.
74 D.
34
16.如图，平面??平面?，A??,B??,AB与两平面?,?所成的角分别为
?4和
?6，线
段AB在????l上的射影为 A'B'，若AB?12，则A'B'?A.4 B.6 C.8 D.9
17.在直三棱柱
和则线段
中，
和
，. 已知Ｇ与Ｅ分别为
上的动点（不包括端点）. 若
，
的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段的长度的取值范围为
A. B. C. D.
答案：
试卷答案
1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.B
????????????????????8.A 解析：AB?(3,4,2),AC?(5,1,3),BC?(2,?3,1)，AB?AC?0，得A为锐角；
????????????????CA?CB?0，得C为锐角；BA?BC?0，得B为锐角；所以为锐角三角形
9.C 10.C 11.D 12.D 13.D
14.B
将该直三棱柱放入正方体中，如图，EF∥C1D，△C1DB为正三角形． ∴直线EF与BC1所成的角为60°.
15.D
16.B 17.（ A ）
解析：建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则
0,1,)F(t1,0,0)（0?t1?1），E(12，G(,0,1)，D(0,t2,0)（0?t2?1）。所以
21????????11EF?(t1,?1,?)，GD?(?,t2,?1)。因为GD?EF，所以t1?2t2?1，由此推出
220?t2?12????????。又DF?(t1,?t2,0)，DF??????DF?1。
t1?t222?5t2?4t2?1?25(t2?25)?215，
从而有
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