自适应信号处理
自适应信号处理是信号与信息处理领域的重要分支和组成部分，自20世纪五六十年代出现以来，自适应信号处理的理论和技术受到了学术界和许多应用领域的普遍重视。它的研究的内容是以信号与信息自适应处理为主线，包括自适应滤波检测理论和自适应技术应用两大部分。
自适应滤波理论和技术是统计信号处理和非平稳随机信号处理的主要内容，它可以在无需先验知识的条件下，通过自学习适应或跟踪外部环境的非平稳随机变化，并最终逼近维纳滤波和卡尔曼滤波的最佳滤波性能。因而，自适应滤波器不但可以用来检测确定性信号，而且可以检测平稳的或非平稳的随机信号。自适应技术应用包括自适应谱线增强与谱估计方法、自适应噪声干扰抵消技术、自适应均衡技术、自适应阵列处理与波束形成以及自适应神经网络信号处理等内容。 自适应信号处理技术在通信、雷达、声纳、图像处理、地震勘探、工业技术和生物医学等领域有着极其广泛的应用。其中，通信技术的许多最新进展，都与自适应信号处理密切相关，尽管新的信号处理理论和方法层出不穷，但是自适应信号处理仍然以其算法简单、易于实现和无须统计先验知识等独特的优点，成为许多理论与工程实际问题的首选解决方案之一。近年来，随着超大规模集成电路技术和计算机技术的迅速发展，出现了许多性能优异的高速信号处理专用芯片和高性能的通用计算机，为信号处理，特别是自适应滤波器的发展和应用提供了重要的物质基础。另外，信号处理理论和应用的发展，也为自适应滤波理论的进一步发展提供了必要的理论基础。 本章主要介绍目前应用较为广泛的自适应滤波理论与技术，包括维纳滤波、LMS滤波和卡尔曼滤波及其应用。 2.2 维 纳 滤 波
从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波理论用于解决最小均方误差下的线性滤波问题。设接收到(或观测到)的信号为随机信号
(7-1)
其中s(t)是未知的实随机信号，n(t)是噪声。要设计的线性滤波器，其冲击响应为h(t, τ)，输入为x(t)，输出为
，即
(7-2)
令足使
为估计误差。冲击响应h(t, τ)按最小均方误差准则确定，即h(t, τ)必须满
(7-3)
达到最小。根据最小均方误差估计的正交条件，有以下关系成立
(7-4)
令
(7-5) (7-6)
则有
(7-7)
上述方程通常称为非平稳随机过程条件下的维纳-霍甫(Wiener-Kolmogorov)积分方程。特别当
x(t)，s(t)均为广义(或宽)平稳随机信号，而滤波器是线性时不变系统的情况下，x(t)与s(t)必为联合平稳，式(7-7)可写为
(7-8)
令，，则有
(7-9)
此处，“*”号表示卷积，对上式两边取Fourier变换，可得
对于因果线性系统，有
(7-10) (7-11)
(7-12)
采用完全相同的分析方法，推得因果平稳维纳-霍甫积分方程如下
(7-13) (7-14)
其中，表示的零、极点位于， 表示的
零、极点位于。表示位于的零、极点。
MATLAB图像处理工具箱提供了wiener2函数进行自适应滤出图像噪声，它根据图像的局部方差来调节滤波器的输出，往往较线性滤波效果好，可以更好地保存图像的边缘和高频细节信息。 Wiener2函数采用的算法是首先估计像素的局部均值和方差：
(7-15)
? (7-16)
其中，Ω是图像中每个像素的M×N的邻域。然后，对每个像素利用wiener滤波器估计其灰度值：
式中，v是图像中噪声的方差。
2
(7-17)
Wiener2的语法格式为：
J=wiener2(I,[m,n]) J=wiener2(I,[m,n],noise) [J,noise]=wiener2(I,[m,n])
其中，J=wiener2(I,[m,n])返回有噪声图像I经过wierner(维纳)滤波后的图像，[m,n]指定滤波器窗口大小为
，默认值为
。J=wiener2(I,[m,n],noise)指定噪声的功率，
[J,noise]=wiener2(I,[m,n])在图像滤波的同时，返回噪声功率的估计值noise。 【例7-1】对加入高斯噪声的图像saturan.png作维纳滤波。 例程7-1 噪声图像维纳滤波
% e.g.7-1.m for example7-1;
%test the function of weina filter. RGB = imread('saturn.png'); I = rgb2gray(RGB);
J = imnoise(I,'gaussian',0,0.005); figure, imshow(J); K = wiener2(J,[5 5]); figure, imshow(K);
图7-1 噪声图像 图7-2 维纳滤波复原图像
实现维纳滤波的要求是：①输入过程是广义平稳的；②输入过程的统计特性是已知的。根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境
的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求。这就促使人们研究自适应滤波器。
2.3 LMS自适应滤波器
自适应滤波器实际上是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，在设计时不需要预先知道关于输入信号和噪声的统计特性，它能够在工作过程中逐步“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自身的参数，以达到最佳滤波效果。一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。
图7-3 自适应滤波器原理图
自适应滤波器由参数可调的数字滤波器(或称为自适应处理器)和自适应算法两部分组成，如图7-3所示。参数可调数字滤波器可以是FIR数字滤波器或IIR数字滤波器，也可以是格型数字滤波器。输入信号x(n)通过参数可调数字滤波器后产生输出信号(或响应) y(n)，将其与参考信号(或称期望响应) d(n)进行比较，形成误差信号e(n)，并以此通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使e(n)的均方值最小。
尽管自适应滤波器具有各种不同的算法和结构，但是，其最本质特征是始终不变的。这种最本质的特征可以概括为：自适应滤波器依据用户可以接受的准则或性能规范，在未知的而且可能是时变的环境中正常运行，而无须人为的干预。本章主要讨论的是基于维纳滤波器理论的最小均方(LMS)算法，可以看到LMS算法的主要优点是算法简单、运算量小、易于实现；其主要缺点是收敛速度较慢，而且与输入信号的统计特性有关。
2.3.1 LMS算法基本原理
1. 自适应线性滤波器
图7-4 单输入自适应线性滤波器 图7-5 多输入自适应线性滤波器