2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
理科数学
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设集合M?{x|x?x?0}，N?{x||x|?2}，则
A.M?N?? B.M?N?M C.M?N?M D.M?N?R 2.已知函数y?e的图象与函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称，则 A.f(2x)?e(x?R) B.
C.f(2x)?2e(x?R) D.f(2x)?lnx?ln2(x?0) 3.双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m? A.?22x2xx211 B.?4 C.4 D. 4424.如果复数(m?i)(1?mi)是实数，则实数m?
A.1 B.?1 C.2 D.?2 5.函数f(x)?tan(x?A.(k???4)的单调增区间为
?223???3?C.(k??，k??)，k?Z D.(k??，k??)，k?Z
44446.?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB?
A.
，k???)，k?Z B.(k?，(k?1)?)，k?Z
2213 B. C. D.
43447.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16? B.20? C.24? D.32? 8.抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是
2478 B. C. D.3
535????????????????????????????9.设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0.如果向量b1、b2、b3，满足bi?2ai，
A.
????且ai顺时针旋转30?后与bi同向，其中i?1，2，3，则
????????????????????????????????A.?b1?b2?b3?0 B.b1?b2?b3?0 C.b1?b2?b3?0 D.b1?b2?b3?0
a? 10.设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a1?a21?31A.120 B.105 C.90 D.75
11.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为
2A.85cm B.610cm C.355cm D.20cm
22212.设集合I?{1，2，3，4，5}.选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上。
13.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________.
?2x?y??1?14.设z?2y?x，式中变量x、y满足下列条件?3x?2y?23，则z的最大值为________.
?y?1?15.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能
安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种.（用数字作答）
16.设函数f(x)?cos(3x??)(0????).若f(x)?f?(x)是奇函数，则??__________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cosB?C取得最大值，并2求出这个最大值.
18.（本小题满分12分）
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为
21，服用B有效的概率为. 32⑴求一个试验组为甲类组的概率；
⑵观察3个试验组，用?表示这3个试验组中甲类组的个数，求?的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上，C在l2上，
AM?MB?MN. ⑴证明：AC⊥NB；
⑵若?ACB?60?，求NB与平面ABC所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，?3)和F2(0，3)为焦点、离心率为3的2椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴
?????????????的交点分别为A、B，且向量OM?OA?OB.求：
?????⑴点M的轨迹方程； ⑵OM的最小值.
21.（本小题满分14分） 已知函数f(x)?1?x?axe. 1?x⑴设a?0，讨论y?f(x)的单调性；
⑵若对任意x?(0，1)恒有f(x)?1，求a的取值范围.
22.（本小题满分12分） 设数列{an}的前n项的和Sn?⑴求首项a1与通项an；
n2n3⑵设Tn?，n?1，2，3，证明：?Ti?.
Sn2i?1412an??2n?1?，n?1，2，3... 333
参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 A 24 B 5 C 6 B 7 C 8 A 9 D 10 B 11 B 12 B 1 解：M?xx?x?0={x|0???x?1}，N??xx?2?={x|?2?x?2}，
∴ M?N?M，选B
x2 解：函数y?e的图象与函数y?f?x?的图象关于直线y?x对称，所以
f(x)是
y?ex的反函数，即f(x)=lnx，∴ f?2x??ln2x?lnx?ln2(x?0)，选D
3 双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为
22x21??y2?1，∴ m=?，选A
444 复数(m?i)(1?mi)=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选B
25 函数f?x??tan?x?????4??的单调增区间满足k???2?x??4?k???2，
∴ 单调增区间为?k????3???,k???,k?Z，选C 44?6 ?ABC中，a、b、c成等比数列，且c?2a，则b=2a，
a2?c2?b2a2?4a2?2a23cosB??，选B =22ac4a47 正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球
的直径为26，∴ 球的半径为6，球的表面积是24?，选C
8 设抛物线y??x上一点为(m，－m2)，该点到直线4x?3y?8?0的距离为
2|4m?3m2?8|42，当m=时，取得最小值为，选A
3359 向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0 向量a1、a2、a3顺时针旋转30?后与b1、b2、
b3同向，且bi?2ai，∴ b1?b2?b3?0，选D
10 ?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a2?5，
a1a3?(5?d)(5?d)?16，∴ d=3，a12?a2?10d?35，a11?a12?a13?105，
选B
11 因为三角形的周长为定值时，等边三角形的面积最大。由于用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），要得到的三角形的面积最大，只能让三边之长尽可能的接近，所以用2、5连接，3、4连接各为一边，
第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为610cm，故选B
212 集合I??1,2,3,4,5? 选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A
中最大的数。也就是A和B满足：①A?B??;②A?B至少含有2个元素，至多5个元素。自然按照A?B中的元素多少可以分类计算了。
解法一：
⑴当A?B中含有2个元素时，从5个元素中选出2个元素，有C5=10种选法，小的给A集合，大的给B集合。有10×1＝10种方法；
⑵当A?B中含有3个元素时，从5个元素中选出3个元素，有C5=10种选法，再分成1-2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
⑶当A?B中含有4个元素时，从5个元素中选出4个元素，有C5=5种选法，再分成1-3；2-2；3-1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
⑷当A?B中含有5个元素时，从5个元素中选出5个元素，有C5=1种选法，再分成1-4；2-3；3-2；4-1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法 选B 解法二：
2345若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个
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