最新中小学教案、试题、试卷
课时分层作业(二十) 导数在实际生活中的应用
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
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1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t－2t，那么速度为24的时刻是
3________秒末.
【导学号：95902250】
【解析】 由题意可得t≥0，且s′＝4t－4t，令s′＝24，解得t＝3(t＝－2舍去)． 【答案】 3
13
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x＋81x3－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．
【解析】 令y′＝－x＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．f(x)在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f(x)在x＝9处取最大值．
【答案】 9
3．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米．
40 000?40 000?(x＞0)，
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2?x＋?2
2
x?
x?
?40 000?，令y′＝0， 所以y′＝2?1－2??
x?
解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800. 当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米． 【答案】 800
4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________.
【导学号：95902251】
【解析】 设圆锥的高为h cm(0＜h＜20)，则圆锥的底面半径r＝20－h ＝400－h(cm)，
2
2
2
V＝V(h)＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，令V′＝π(400－3h2)
＝0，
203解得h＝. 3
由题意知V一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点． 【答案】
203
cm 3
3
1313131313
5．要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的
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长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小．
【解析】 设底面的长为2x cm，宽为x cm，
3636362162
则高为2 cm，表面积S＝2×2x·x＋2×x·2＋2×2x·2＝4x＋(x＞0)，
xxxxS′＝8x－
216
2，由S′＝0，得x＝3，x∈(0,3)时，S′＜0，x∈(3，＋∞)时，S′＞0，
x∴x＝3时，S最小．此时，长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm. 【答案】 6 cm 3 cm 4 cm
??－ln x，0 6．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝? ?ln x，x>1? 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交 于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是________. 【导学号：95902252】 【解析】 由图象易知P1，P2位于f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1，－ln x1)(0 则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为y＋ln x1＝－(x－x1)， x1 即y＝－＋1－ln x1. ① xx1 1x则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝－1＋ln x2. x2x2 ② 11 由l1⊥l2，得－×＝－1， x1x2 ∴x1x2＝1. 由切线方程可求得A(0,1－ln x1)，B(0，ln x2－1)， 2－ln x1－ln x22 由①②知l1与l2交点的横坐标xP＝＝. 11x1＋x2＋ x1x2 12 ∴S△PAB＝×(1－ln x1－ln x2＋1)× 2x1＋x2＝ 22＝. x1＋x21 x1＋ x1 1 又∵x1∈(0,1)，∴x1＋>2， x1 教案、试题、试卷中小学 2 最新中小学教案、试题、试卷 ∴0<21 <1，即0 x1＋ x1 【答案】 (0,1) 7．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________. 【导学号：95902253】 【解析】 设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为R－h， 则圆柱的体积为V＝π(R－h)·2h＝2πRh－2πh，∴V′＝2πR－6πh. 令V′＝0，解得h＝∵h∈?0，故当h＝ 3R. 3 2 2 2 3 2 2 2 2 ??3??3? R?时，V单调递增，h∈?R，R?时，V单调递减， 3??3? 323R时，即2h＝R时，圆柱体的体积最大． 3323 R 3 【答案】 8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量 Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－ 进货支出)为________． 【解析】 设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或 p＝－130(舍去)． 因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0， 所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)＝23 000. 即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 【答案】 23 000元 二、解答题 9.某制瓶厂要制造一批轴截面如图3-4-3所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π.设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S. 2 图3-4-3 教案、试题、试卷中小学 3