第4讲 平面向量应用举例
一、选择题
→
A．等腰直角三角形 C．等边三角形
→
→
1．△ABC的三个内角成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是( )．
B．非等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析 △ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等π
差数列，故B＝.
3答案 C
2. 半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中→→→
点，则(PA＋PB)·PC的值是( ) A．－2 B．－1 C．2
D．无法确定，与C点位置有关 →→→→→
解析 (PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2. 答案 A
ππ→→→
3. 函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝
42
( )．
A．4 C．1
B．6 D．2
解析 由条件可得B(3,1)，A(2,0)，
→→→→→→→→2→2
∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB－OA＝10－4＝6. 答案 B
→→
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则AE·AF＝( )． 5A. 3
5
B. 4
10
C. 9
D.15 8
→1→→→
解析 法一 依题意，不妨设BE＝EC，BF＝2FC，
2→→1→→→2→1→则有AE－AB＝(AC－AE)，即AE＝AB＋AC；
233
1
→
AF－AB＝2(AC－AF)，即AF＝AB＋AC.
→→?2→1→??1→2→?所以AE·AF＝?AB＋AC?·?AB＋AC?
3??33??31→→→→
＝(2AB＋AC)·(AB＋2AC) 9
1→2→2→→＝(2AB＋2AC＋5AB·AC) 9
1522
＝(2×2＋2×1＋5×2×1×cos 60°)＝，选A. 93法二 由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，
→→→→
1→2→
33
?23?
如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E?－，0?，
?3?
F?－
?
?3?，0?， 3?
3?23???→→
∴AE·AF＝?－，－1?·?－，－1?＝
?3??3?253??23??
?－?·?－?＋(－1)·(－1)＝3＋1＝3，选A. ?3??3?答案 A
5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，
→
→→
→
且AM＝xAB，AN＝yAC，则
x·y的值为( )． x＋y
A．3
1
B.
3
C．2
1 D. 2
解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得答案 B
x·y1
＝. x＋y3
→→→→→→→
6．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，则CA在CB方向上的投影为 A．1
( )．
D．3
B．2 C.3
→→
解析 如图，由题意可设D为BC的中点，由OA＋AB→→→→→
＋AC＝0，得OA＋2AD＝0，即AO＝2AD，∴A，O，D
2
→→
共线且|AO|＝2|AD|，又O为△ABC的外心， ∴AO为BC的中垂线，
→→→→
∴|AC|＝|AB|＝|OA|＝2，|AD|＝1， →→→
∴|CD|＝3，∴CA在CB方向上的投影为3. 答案 C 二、填空题
→→
7. △ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA→→→→
≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．
→→
解析 ∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1， →→
∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2. →→
∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3. 答案 3
π
8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边
3形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________． π22
解析 ∵|a＋b|－|a－b|＝4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，
3∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|＝a＋b－2a·b＝3，∴|a－b|＝3. 答案
3
xy2
2
2
9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9＋3的最小值为________． 解析 若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2. 9＋3＝3＋3≥2×3
xy2xy2x＋y＝2×3＝6.
21
当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．
2答案 6
1312
10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x＋|a|x＋a·bx在R上有极值，则a32与b的夹角范围为________．
解析 由题意得：f′(x)＝x＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|－4a·b>0，即1?π?22
4|b|－8|b|cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为?，π?.
2?3?
2
2
?π?答案 ?，π?
?3?
3
三、解答题
11．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos θ，sin θ)，O为坐标原点
????????1
(1) AC·BC＝－，求sin 2θ的值．
3
????????????????(2)若|OA＋OC|＝7，且θ∈(－π，0)，求OB与OC的夹角．
????解 (1) AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)
＝(cos θ－2，sin θ)
????BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． ????????AC·BC＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)
＝cosθ－2cos θ＋sinθ－2sin θ 1
＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－.
32
∴sin θ＋cos θ＝，
34
∴1＋2sin θcos θ＝，
945
∴sin 2θ＝－1＝－. 99
2
2
????????(2)∵OA＝(2,0)，OC＝(cos θ，sin θ)， ????????∴OA＋OC＝(2＋cos θ，sin θ)，
????????22∴|OA＋OC|＝?2＋cos θ?＋sinθ＝7.
即4＋4cos θ＋cosθ＋sinθ＝7. 1
∴4cos θ＝2，即cos θ＝.
2π
∵－π<θ<0，∴θ＝－. 3
2
2
?????????13?又∵OB＝(0,2)，OC＝?，－?，
2??2????????????????|OB·OC|0－33
?????＝∴cos 〈OB，OC〉＝???＝－. 22|OB|·|OC|????????5π
∴〈OB，OC〉＝.
6
?π3π?12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈?，?.
2??2
→→
(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值；
4
2sinα＋sin 2α→→
(2)若AC·BC＝－1，求的值．
1＋tan α
→→
解 (1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，BC＝(cos α，sin α－3)， →222
∴AC＝(cos α－3)＋sinα＝10－6cos α， →2
2
BC＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
→→→2→2
由|AC|＝|BC|，可得AC＝BC，
即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈?
?π，3π?，∴α＝5π.
?2?4?2
→→
(2)由AC·BC＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， 2
∴sin α＋cos α＝.①
3
2sinα＋sin 2α2sinα＋2sin αcos α又＝＝2sin αcos α.
1＋tan αsin α
1＋
cos α4
由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
95
∴2sin αcos α＝－.
92sinα＋sin 2α5∴＝－.
1＋tan α9
13．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． π
(1)若x＝，求向量a与c的夹角；
6
22
2
?π9π?(2)当x∈?，?时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值．
8??2
π?31?
解 (1)设a与c夹角为θ，当x＝时，a＝?，?，
6?22?
a·ccos θ＝＝|a||c|
31×?－1?＋×022
?3?2?1?222??＋?2?×?－1?＋0?2???
＝－35π.∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 26
2
2
(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cosx＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cosx－1)＝sin 2x 5