试卷编号： 6029 (B)卷答案及评分标准 课程编号： H55020190 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级 05物理、应物与光信息 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号 题分 得分 考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 一 42 二 50 三 8 四 五 六 七 八 九 十 总分 100 累分人 签名 南昌大学 2006～2007学年第二学期期末考试试卷
一、 填空题(每小题 3 分，共 42 分) 得分 评阅人 i? 1. 复数z??1的指数式为 e2. ? 18 ?19x2 ?(x?5) dx? 25 。 3. 复数z?(1?i)/(1?2i)可简化为 (-1+3i)/5 。 4. 二维拉普拉斯方程?u?0在xy平面直角坐标系中的表达式为?2u/?x2??2u/?y2?0。 5. 若复变函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)可导，必满足 柯西－黎曼 条件，这个条件的数学表达式为?u/?x??v/?y、?u/?y???v/?x 6. 在z?1的圆内，函数f(z)?1的泰勒级数展开为______________ z?1?(1?z?z2??) 7. 已知n??1，l为任一回路，则?(z??)ndz? 0 。 l第 1 页 共 6页
8. 拉普拉斯变换L[t?1]??1/p?1/p2 (Re p?0)。 9. 数学物理方程定解问题的适定性是指___解是存在的、唯一的和稳定的_____。 10. 一根两端(左端为坐标原点而右端x?l）固定的弦，用手在离弦左端三分之一处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为 u(x,0)?3hx/l, (0?x?l/3) 和 u(x,0)?3h(l?x)/2l, (l/3?x?l) ;ut(x,0)?0。 11. 偏微分方程uxx?2uxy?uyy?2xux?6yuy?xy?1?0的类型为 椭圆型 。 12. 若解析函数f(z)的实部为x2?y2，则其虚部为 B) ，其中C为常数。 A) ?2xy?C C) ?2x?2y?C 13. 复变函数f(z)?B) 2xy?C D) ?2x?2y?C z?2i有 D) 。 53z?4zA) 两个单极点和一个三阶极点 B) 一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点 C) 两个单极点和一个二阶极点 D)一个单极点和一个三阶极点 14. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。 （1）复变函数f(z)在区域内解析和可导等价。 （√） （2）uxy?2xyux?xuy?uxuy?1?0是二阶非齐次的线性偏微分方程。（×） （3）洛朗级数中z?z0的负幂项系数是某复变函数在点z0的留数。 （×） 二、 求解题 (每小题 10 分，共 50 分) 得分 评阅人 说明： （1） 需给出必要的文字说明和演算过程。 （2） 本题第5、6、7小题按专业只做其中一题，注意： a. 物理学与应用物理学专业考生只能在第5、6题中任选一题完成； b. 光信息专业考生则必须完成第7题。 第 2 页 共 6页
dz1. 用留数定理计算积分?2。 (z?4)(z?2)|z|?3解：被积函数f(z)?其留数为 Resf(?2)?lim1dd?1?1 ---(4分) (z?2)2f(z)?lim???z??2(2?1)!dzz??2dzz?4?4??1在积分围线内只有一个两阶极点z??2。 ---(3分) 2(z?4)(z?2)??根据留数定理得 dz??2?i?Resf(?2)??i ---(3分) 2?2|z|?3(z?4)(z?2) d2ydy2. 解常微分方程初值问题2?3?4y?1,y(0)?y'(0)?0。注：可使用拉普拉斯变换，dtdt或其它任何方法。 解：拉普拉斯变换得 p2y(p)?3py(p)?4y(p)?1/p ---(3分) 所以 y(p)?1111111 ---(4分) ????p(p2?3p?4)p(p?4)(p?1)20p?45p?14p 逆变换得 y(t)?14t1?t1e?e? ---(3分) 2054 第 3 页 共 6页
3. 设X(x)满足方程X????X?0和边界条件X(0)?X?(l)?0，其中?可为任意实数，试根据?的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值?。 解：可分为三种情况讨论： 1) ??0，解为X(x)?C1e??x?C2e???x，由X(0)?0得C1??C2，由X'(l)?0得C1(??e??l???e???l)?0，得C1??C2?0，得到平庸解X(x)?0，显然没有意义。 ----------------(3分) 2) ??0，解为X(x)?C1x?C2，代入边界条件得C1?C2?0，于是X(x)?0仍然没有意义。 ----------------(2分) 3) ??0，解为X(x)?C1cos?x?C2sin?x.,代入边界条件得 ?C1?0, ??C2cos?l?0.a) 当 ? 的取值使得 cos?l?0 时，必有 C2?0 ，这和上两种情况一样没有意义。 b) 当 ? 的取值使得 cos?l?0 时， C2 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 cos?l?0 得到本征值?: 1(n?)?(2n?1)2?22l????(n?0,1,2,3,?). 24l?(2n?1)?x. 此时，本征解为X(x)?C2sin2l----------------(5分) 4. 试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程utt?uxx?0，初始条件为ut?0?0,utt?0?xcosx。 2 解：若方程utt?auxx?0的初始条件为u|t?0??(x),ut|t?0??(x)，则其解为111x?atu(x,t)??(x?at)??(x?at)??(?)d?，此即达朗贝尔公式。 ?x?at222a ---------------(4分) 本题中，a?1，?(x)?0，?(x)?xcosx，则 u(x,t)?1x?t1x?t?cos?d???dsin???x?tx?t2211x?t??x?t ???sin????x?t??sin?d?x?t221111??x?t?sin?x?t???x?t?sin?x?t??cos?x?t??cos?x?t?2222 ----------------(6分) 第 4 页 共 6页
注意：以下5、6、7小题按专业只做一题，物理学与应用物理学专业的考生只能从5和6两小题中任选一题完成，光信息专业的考生则必须完成第7小题。 我是物理学或应用物理学专业的考生，选做 题。 2?dx5. 用留数定理计算实积分 ?。 02?sinx1dzdz解：做变换sinx?(z?z?1),dx?, 原积分化为I?2?2 -----(4分) 2iiz|z|?1z?4iz?1由z2?4iz?1?0 得两个根z1?(?2?3)i,z2??(2?3)i。但在积分围线|z|?1内，只有点z1是被积函数f(z)?1/(z2?4iz?1)的单极点。 -----(2分) f(z)在点z1的留数为 Resf(z1)?limz?z1(z?z1)f(z)?1/(z1?z2)?1/(i23) -----(2分) 根据留数定理得 I?2?2?i?Resf(z1)?2?/3 -----(2分) 6. 解偏微分方程（常数a,?均为正数）utt?auxx?cos?t;t?0:u?ut?0。 解：做未知函数变换将方程齐次化。令u?v?cos?t/?，代入方程和初始条件得 22vtt?a2vxx?0；t?0:v?1/?2，vt?0 ------(4分) 由达朗贝尔公式得 v(x,t)?(1/?2?1/?2)/2?1/?2 ------(4分) 最后 u?(1?cos?t)/?2 ------(2分) 7. 已知l阶勒让德多项式Pl(x)的表达式为 1 ?11dlPl(x)?l(x2?1)l l2l!dx计算?P0(x)P2(x)dx。注意：0!?1。 解：由已知可求得 P0(x)?1 ---(2分) 以及 P2(x)? 所以 113x2?1 ---(3分) 2??? ?1P0(x)P2(x)dx?1 12(3x?1)dx? ?1211?(x3?x)|?0?12 ---(5分)
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三、 证明题 (每题 8分，共 8 分) 得分 评阅人 1. 已知函数f(x)的傅里叶变换为F(?)，试证明f'(x)的傅里叶变换为i?F(?)。 1F(?)?证明：由于函数f(x)的傅里叶变换2?则f'(x)的傅里叶变换为 ??i?xf(x)edx， -----(2分) ???1G(?)?F[f'(x)]?2??????f'(x)e?i?xdx -----(2分) 11?i?x??[f(x)e]???2?2?根据傅里叶积分定理，有limf(x)?0且e|x|?????f(x)[e?i?x]'dx?i?x为有界量，于是，上式中的第一项为0。 -----(2分) 所以 1G(?)??2??????f(x)[e?i?x]'dx1?i??[2??i?F(?)???f(x)e?i?xdx] -----(2分)
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