南昌大学 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量a??1,?1,4?,b??3,4,0?,则以a,b
为边的平行四边形的面积等于
.
2. 曲面z?sinxcosy在点????1??4,4,2??处
的切平面方程是.
3. 交换积分次序
?220dx?xf?x,y?dy?.
?4. 对于级数
1（a＞0），当a满足条件
时收敛.
n??1an5. 函数y?12?x展开成x的幂级数为
.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面x?2z?0的位置是 （ ）
（A）通过
y轴 （B）通过x轴 （C）垂直于y轴 （D）平行于xoz平面
2. 函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数
fx??x0,y0?，
fy??x0,y0?,是函数在该点（ ）
（A）充要条件 （B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 3. 设z?ex?cosy?xsiny?，则dzx?1?（ ）
y?0（A）e （B）e(dx?dy)
（C）e?1(dx?dy) （D）ex(dx?dy)
?4. 若级数
x?1?n在x??1处收敛，
n?a?1n? 可微分 1
的
则此级数在x?2处（ ）
（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛 5. 微分方程y??xy?x的通解是（ ）
1（A）y2x2?1?1x2?e （B）y?e2?1 （C）y?Ce?1x212 （D）y?Ce2x2?1
三、(本题满分8分)
设平面通过点?3,1,?2?，而且通过直线x?45?y?32?z1，求该平面方程．
四、(本题满分8分) 设z?f?xy,x?y?，其中f?u,v?具有二阶连续偏导数，试求?z?x和?2z?x?y．
五、(本题满分8分) 计算三重积分
y????zdxdydz，
?其中
??x,y,z?0?x?1,?1?y?1,1?z?2?．
六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分?x2?y2Leds，
其中L是圆周x2?y2?R2在第一象限的部分．
七、(本题满分9分) 计算曲面积分
??xdydz?zdzdx?3dxdy，其中?是柱面?x2?y2?1与平面z?0和z?1所围成的边界曲面外侧．八、(本题满分9分) 求幂级数
n??nxn?1的收敛域及和函数．
?1
2
九、(本题满分9分) 求微分方程
y???4y?ex的通解．
十、(本题满分11分)
设L是上半平面
?y?0?内的有向分段光滑曲线，
其起点为?1,2?，终点为?2,3?，
记I???21??2x?L??xy?y??dx???xy?y2??dy
1．证明曲线积分I与路径L无关； 2．求I的值．
南昌大学 2008～2009学年第二学期期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量a??1,?1,4?,b??3,4,0?,则以a,b
为边的平行四边形的面积等于
449.
2. 曲面z?sinxcosy在点????1??4,4,2??处
的切平面方程是
x?y?2z?1?0. 3. 交换积分次序
?220dx?xf?x,y?dy??2y0dy?0f?x,y?dx.
?4. 对于级数?1na＞0），当a满足条件
a?1时收敛.
n?1a（5. 函数y?12?x展开成x的幂级数
?n为
?x2n?1??2?x?2?.
n?0二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面x?2z?0的位置是 （ A ）
3
（A）通过
y轴 （B）通过x轴 y轴 （D）平行于xoz平面
（C）垂直于2. 函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处具有偏导数
，
fx??x0,y0?fy??x0,y0?,是函数在该点可微分的 （
C ）
（A）充要条件 （B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 3. 设z?ex?cosy?xsiny?，则dzx?1?（ B ）
y?0（A）e （B）e(dx?dy)
（C）e?1(dx?dy) （D）ex(dx?dy)
?4. 若级数
n处收敛，
n?a?1n?x?1?在x??1则此级数在x?2处（ D ）
（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛 5. 微分方程y??xy?x的通解是（ D ）
1?e2x2?1（A）y?1 （B）y?e2x2?1 1（C）y?Ce?1x22 （D）y?Ce2x2?1
三、(本题满分8分) 设平面通过点
?3,1,?2?，而且通过直线
x?4y?3z5?2?1，求该平面方程． 解: 由于平面通过点A?3,1,?2?及直线上的点B?4,?3,0?，
? 因而向量AB??1,?4,2?平行于该平面。
4
该平面的法向量为: n?(5,2,1)?(1,?4,2)?(8,?9,?22). 则平面方程为: 8(x?4)?9(y?3)?22(z?0)?0.
或： 8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0.
即： 8x?9y?22z?59?0.
四、(本题满分8分) 设z?f?x,y?x?y，其中f?u,v?具有二阶连续偏导数，
?z?2试求?x和z?x?y．
解:
?z?x?f1y?f2, ?2z??x?y??y?f1y?f2??
??f11x?f1?2y?f1?f21x?f2 2?
?xyf11??x?y?f12?f1?f22
五、(本题满分8分)
计算三重积分
y????zdxdydz，
?其中
??x,y,z?0?x?1,?1?y?1,1?z?2?．
???22zdxdydz??1dx?1解:
0?1dyzdz?12z?3
??2121六、(本题满分8分) 2计算对弧长的曲线积分??y2Lexds，
其中L是圆周x2?y2?R2在第一象限的部分．
解法一:
??y2Lex2ds?
RR ??Rdx?ReR0eRR2?x2arcsinx??ReRR
02
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