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2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数 学(理工农医类解析)
本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
?1?1.i为虚数单位，则??1?i??i?2011?
A.?i B.?1 C.i D.1 【答案】A 解析：因为
1?i1?i??1?i?21?i2?1??i，所以??1?i??i?2011?i2011?i4?502?33?i??i，故选A.
2.已知U??yy?log2??1x,x?1?，P??yy?,x?2?，则CUP?
x??A. ?,??? B.?0,? C.?0,??? D. ???,0???,???
?2??2??2?【答案】A
解析：由已知U??0,???.P??0,???11?CP?，所以?U?,??2??2??,故选A. ??1??1??1?3.已知函数f?x????3sinx?cosx，x?R，若f?x??1，则x的取值范围为
A. ?xk??????????x?k???,k?Z? B. ?x2k???x?2k???,k?Z? 33????x?k??5?????5?,k?Z? D. ?x2k???x?2k??,k?Z? 666???C. ?xk??【答案】B
?6解析：由条件3sinx?cosx?1得sin?x?????1??，则 6?22k???6?x??6?2k??25?6，解得2k???3?x?2k???，k?Z，所以选B.
4.将两个顶点在抛物线y?2px?p?0?上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则 A. n?0 【答案】C
B. n?1 C. n?2 D. n?3
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解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个
顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为30和150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n，n?2，所以选C.
5.已知随机变量?服从正态分布N?2,?2y C B 00O D F x A ?，且P???4??0.8，则P?0???2??
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C
解析：
如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线x?2对称，所以P???2??0.5，并且 P?0???2??P?2???4?
y O 2 4 x 则P?0???2??P???4??P???2?
?0.8?0.5?0.3
所以选C.
6.已知定义在R上的奇函数f?x?和偶函数g?x?满足f?x??g?x??ax?a?x?2
?a?0,且a?1?，若g?2??a，则f?2??
154A. 2 B. 【答案】B
C.
174 D. a
2解析：由条件f?2??g?2??a?a2?2?2，f??2??g??2??a2?2?a?2，即
?22?f?2??g?2??a?2?a?2，由此解得g?2??2，f?2??a?a2，
2?2所以a?2，f?2??2?2?154，所以选B.
7.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A1 K A2 - 2 -
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A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 【答案】B
解析：A1、A2至少有一个正常工作的概率为1?PA1PA2 ?1??1?0.8???1?0.8??1?0.04?0.94，
????系统正常工作概率为P?K?1?PA1PA28.已知向量值范围为
???????0.9?0.96?0.864，所以选B.
a??x?z,3?，b??2,y?z?，且a⊥b.若x,y满足不等式x?y?1，则z的取
A. ??2,2? B. ??2,3? C. ??3,2? D. ??3,3? 【答案】D
解析：因为a⊥b，2?x?z??3?y?z??0， 则z?2x?3y，x,y满足不等式x?y?1， 则点?x,y?的可行域如图所示,
当z?2x?3y经过点A?0,1?时，z?2x?3y取得最大值3 当z?2x?3y经过点C?0,?1?时，z?2x?3y取得最小值-3 所以选D.
9.若实数a,b满足a?0,b?0，且ab?0，则称a与b互补，记??a,b??那么??a,b??0是a与b互补
a?b22y A(0,1) D(-1,0) O l1 x B(1,0) C(0,-1) l2 ?a?b，
A. 必要而不充分条件
【答案】C
B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件
解析：若实数a,b满足a?0,b?0，且ab?0，则a与b至少有一个为0，不妨设b?0，则
??a,b??a?b22a2?a?a?a?0；反之，若
??a,b??a?b22?a?b?0，
?a?b?0
2222两边平方得a?b?a?b?2ab?ab?0，则a与b互补，故选C.
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单
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位：年）满足函数关系：M?t??M02?t30，其中M0为t?0时铯137的含量，已知t?30时，
铯137的含量的变化率是?10ln2（太贝克/年），则M?60?? ．．．
A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克 【答案】D 解析：因为M/?t???130ln2?M02?t30，则M/?30???130ln2?M026030?3030??10ln2，解
得M0?600，所以M?t??600?2?t30，那么M?60??600?2??600?14?150（太
贝克），所以选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 ?111.在?x??3x??15??展开式中含x的项的系数为 .（结果用数值表示） ?18【答案】17
【解析】二项式展开式的通项公式为Tr?11r18?r??C18x????3x221818?r?r??1?r2??Cx???，令18??3??r1r18?r?12r?15?r?2，含x15?1?的项的系数为C????17，故填17.
?3?12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】
28145
解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B，则A与B是对立事件，因为
P?B??C27225C30?27?1315?29，所以P?A??1?P?B??1?27?1315?29?28145，所以填
28145.
12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】
6766
解析：设该数列?an?的首项为a1，公差为d，依题意
4?a?7d?1??a1?a2?a3?a4?3?4a1?6d?3?3，即?，解得?， ??3a1?21d?4?a7?a8?a9?4?d?7?66?
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则a5?a1?4d?a1?7d?3d?43?2166?6766，所以应该填
6766.
14.如图，直角坐标系xOy所在的平面为?，直角坐标系x/Oy/（其中y/轴与y轴重合）所在的平面为?，?xOx/0?45.
?P/ x/ （Ⅰ）已知平面?内有一点P22,2，
则点P/在平面?内的射影P的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面?内的曲线C的方程是
/
/??y (y/) C/ ? O x ? ?x/?2?2?2y/2?2?0，则曲线C在平面?内的
/
射影C的方程是 . 【答案】?2,2?,?x?1??y2?1
2解析：（Ⅰ）设点P/在平面?内的射影P的坐标为?x,y?， 则点P的纵坐标和P22,2纵坐标相同， 所以y?2，过点P/作P/H?Oy，垂足为H， 连结PH，则?P/HP?450，P横坐标
22/?Pxy (y/) C/ P / / ??H O ? x ? x?PH?PHcos45/0?xcos45/0?22??2，
所以点P/在平面?内的射影P的坐标为?2,2?；
/0/??x?2x/
?x?，y?y，所以?代入曲线C的方程
/2??y?y（Ⅱ）由（Ⅰ）得x?xcos45/2/?x/?2?2?2y2/2得?2?0，
?2x?2?2?2y?2?0??x?1??y222?1，所以射影C2的方程填?x?1??y?1.
15.给n个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当n?4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： ．．．． n=3 - 5 - n=1 n=2
n=4