编码方法如下图所示
1
2
6
7
15 16
28 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） 3 5 8 14 17 27 30 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2），7 4 9 13 18 26 31 43 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） 10 12 19 25 32 42 49 （4．1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （4，7） 11 20 24 33 41 50 62 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （5，7） 21 23 34 40 51 61 72 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） （6，7） 22 35 39 52 60 73 85 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7，7） …
… …
… … … …… 第5题3）的图（b）
4）构造f：IIN，f（r，s）=n r，s∈I
其中：k=| r |+| s | l=1+2k（k+1）
(l?3k?1)?r,当S?0时n=? ??(l?k?1)?r,当S?0时 则f-1：N→I×I，f-1（n）=（r，s），n∈N
其中：寻找k满足不等式1+2k（k-1）＜n≤1+2k（k+1）
令l：=1+2k（k+1） 若| n1 |≤k，则令 r =n1
n1：=n-（l-3k+1）=（3k-1）-（l-n） s：=k-| r | n2：=n-（l-k+1）=（k-1）-（l-n） 若| n2 |＜k，则令 r：=-n2 s：= -（k-| r |） 5）构造f：R→（0，∞），f（x）=ex，x∈R
46
则f-1：（0，∞）→R，f-1（x）=lnx，x∈（0，∞） 6）构造f：（-1，1）→R， f（x）= -
x，x∈（-1，1）
(x?1)(x?1)则f -1：R→（-1，1）， f -1（x）=
2y4y?1?12， x∈[0，1]
7）构造f：[0，1] →(,)，f=goh 其中：h：[0，1] →，h（x）= g：[,](,)
11421（x+1），x∈[0，1] 411421142??r1??r2 g（x）=???ri?2??x1142141,当x?2,当x?,当x?x?ri(i?1,2),否则
这里r1，r2，?，rn?(,)是该区间内所有的有理数。 于是：f –1=(,)→[0，1] 其中：g-1：(,)→[,]
114211421142?1?4?1?-1
g（x）=?2?r?i?2??x，当x?r1，当x?r2，当x?ri(i?3，4，?)，否则
r1，r2，?，rn?∈(,)为该区间内所有有理数。
1142 47
h –1：[,]→[0，1] h –1（x）=4（x-8）构造：f：2{a
11421）= 4x-1 4，b，c}
{0，I}{a
，b，c}
，b，c}
，b，c}
f（B）=g， B∈2 {a g∈{0，1}{a或者更明确地：
（或B?{a，b，c}）
={h | h：{a，b，c}→{0，1}}
g满足{x | x∈{a，b，c}g∧（x）=1}=B f（?）=g 0， g 0（a）=0， g 0（b）=0， g 0（c）=0； f（{a}）=g 1， g 1（a）=1， g 1（b）=0， g 1（c）=0； f（{b}）=g 2， g 2（a）=0， g 2（b）=1， g 2（c）=0； f（{c}）=g 3， g 3（a）=0， g 3（b）=0， g 3（c）=1； f（{a，b}）=g 4，g 4（a）=1，g 4（b）=1， g 4（c）=0； f（{a，c}）=g 5，g 5（a）=1，g 5（b）=0， g 5（c）=1； f（{b，c}）=g 6，g 6（a）=0，g 6（b）=1， g 6（c）=1； f（{a，b，c}）=g 7，g 7（a）=1，g 7（b）=1， g 7（c）=1； 于是f –1：{0，I}{a
，b，c}
→2{a
，b，c}
f –1（g）=B，B={x | x∈{a，b，c}∧g（x）=1}
或者f –1（g0）=? ；f –1（g1）={a}；f –1（g 2）={b} ；f –1（g 3）={c}； f –1（g 4）={a，b}；f –1（g 5）={a，c}；；f –1（g 6）={b，c}；f –1（g 6）={a，b，c} 117 (-5,3) 88 (-5,2) 63 (-5,0) 85 (-5,-1) 112 (-5,-2)
89 65 (-4,3) (-3,3) 64 44 (-4,2) (-3,2) 43 27 (-4,0) (-3,0) 61 41 (-4,-1) (-3,-1) 84 60 (-4,-2-) (-3,-2) 45 (-2,3) 28 (-2,2) 15 (-2,0) 25 (-2,-1) 40 (-2,-2) 29 (-1,3) 16 (-1,2) 7 (-1,0) 13 (-1,-1) 24 (-1,-2) 17 (0,3) 8 (0,2) 3 (0,0) 5 (0,-1) 12 (0,-2) 48
31 (1,3) 18 (1,2) 9 (1,0) 11 (1,-1) 22 (1,-2) 49 (2,3) 32 (2,2) 19 (2,0) 21 (2,-1) 36 (2,-2) 71 (3,3) 50 (3,2) 33 (3,0) 35 (3,-1) 54 (3,-2) 97 (4,3) 72 (4,2) 51 (4,0) 53 (4,-1) 76 (4,-2) 127 (5,3) 98 (5,2) 73 (5,0) 75 (5,-1) 102 (5,-2)
142 (-5,-3) 178 (-5,-4) 111 (-4,-3) 142 (-4.-4) 83 (-3,-3) 110 (-3,-4) 59 (-2,-3) 82 (-2,-4) 39 (-1,-3) 58 (-1,-4) 23 (0,-3) 38 (0,-4) 37 (1,-3) 56 (1,-4) 55 (2,-3) 78 (2,-4) 77 (3,-3) 104 (3,-4) 103 (4,-3) 134 (4,-4) 133 5,-3 168 (5,-4) 第5题4）的图
6．设f和g是由数，f?g并且（g）??（f），证明f = g。
[证明] 因为已知f?g，故只需证明g?f即可得f=g。为此用反证法。
假设g?f，从而存在着（x，y）∈g，使得（x，y）?f。由（x，y）∈g可知x∈?（g），根据已知?（g）??（f），有x∈?（f）。于是存在着y1，使得（x，y）∈f。又从已知f?g，可得（x，y1）∈g。由于g是函数，根据函数是后者唯五的关系这个定义，就得到y=y1。从而（x，y）∈f，与反证假设（x，y）? f矛盾，这个矛盾说明假设错误，于是必有
g?f 。
7．设f和g是函数，证明也是函数。
[证] 只需证明对任何x ?（f∩g）存在着唯一的y，使得（x，y）∈f∩g即可。
（a）存在性
若有x ∈?，由于f及g是由数，因而也是关系，所以也是一个关系，从而应有y存在，使（x，y）∈f∩g.。
若f∩g是空集，自然?（f∩g）=?，从而对任何x，x ? ?（f∩g）。 （b）唯一性
若存在着y1，y2，使（x，y1）∈f∩g，（x，y2）∈f∩g，则（x，y1）∈f且（x，y2）∈f ，由f是由数，后者唯一就可得y1=y2。 8．设f：X→Y是函数，A，B是X的子集，证明：
1）f（A∪B）=f（A）∪f（B） 2）f（A∩B）?f（A）∩f（B） 3）f（A）\\f（B）?f（A\\B）
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[证明] 1）若y∈f（A∪B）则有x∈A∪B，使f（x）=y。即有x∈A或者x∈B，使f
（x）=y。若x∈A，使f（x）=y，则y∈f（A）；若x∈B，使f（x）=y，则y∈f（B）。总之y∈f（A）或y∈f（B），从而∪f（B）所以，
f（A∪B）?f（A）∪f（B）
若y∈f（A）∪f（B），则y∈f（A）或者y∈f（B），若y∈f（A），则存在着x1∈A，使f（x1）=y，即存在着x1∈A∪B，使f（x1）=y，故y∈f（A∪B）；若y∈f（B），则存在着x2∈B，使y=f（x2），即存在着x2∈A∪B，使y=f（x2），故y∈（A∪B）。总之，y∈f（A∪B）。所以
f（A）∪f（B）?f（A∪B）。
因此 f（A∪B）= f（A）∪f（B）。
2）若y∈（A∪B），则存在着x∈A∩B，使y=f（x）。即x∈A且x∈B，使y=f（x）。从而y∈f（A）且y∈f（B），从而?y∈f（A）∩f（B）。所以
f（A∩B）?f（A）∩f（B）。
令f：X→X，X={1，2，3，4}，f={（1，4），（2，3），（3，4），（4，2）}。并且取A={1，2}，B+{2，3}，则AB={2}，f（A）=f（B）={3，4}，f（A∩B）={3}。从而f（A∩B）?f（A）∩f（B）是严格真包含。因此等号一般不成立。 3）设y是任一使得y∈f（A）\\f（B）的元素。那么有某-x∈A使得f（x）=y，但是，对每个z∈B，都有y≠f（z）。因此x∈A\\B，并且由于y=f（x），这就是推出y∈f（A\\B）。由y是任意的，这就建立了
f（A）\\f（B）?f（A\\B）
令X={1，2，3，4，5}， f：X→X，f={（1，5），（2，4），（3，2），（4，5），（5，1）}。取A={1，2，3}，B={3，4}，则A\\B={1，2}，于是f（A）={5，4，2}，f（B）={2，5}，f（A\\B）={5，4}，f（A）\\f（B）={4}。由于{4}?{5，4}， 故此f（A）\\f（B）?f（A\\B）是真包含，等号不成立。 9．设f：X→Y，定义函数g：Y→2X，使得对任意的y∈Y
g（y）={x∈X | f（x）=y}
证明：如果f是满射函数，则g是单射函数。
[证明] 对于任意的y1，y2∈Y且y1≠y2，我们来证g（y1）≠g（y2）。首先我们来证g
（y1）≠?且g（y2）≠?。由于f：X→Y是满射函数，故此存在着x1，x2∈X，使得f（x1）=y2，因此x1∈g（y1）={x∈X | f（x）=y1}，x2∈g（y2）={x∈X | f（x）=y2}，所以g（y1）≠?，g（y2）≠?。其次来证g（y1）∩g（y2）=?。否则，此交集非空，则存在着x∈X，使x∈g（y1）∩g（y2），从而x∈g（y1）且
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