(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．设0＜x＜1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝A．a B．b C．c
D．不确定
1
中最大的一个是( ) 1－x
1
解析：由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x＞a2，a＞0，b＞0得b＞a.又c－b＝－(1＋x)＝
1－x1－?1－x2?x2
＝＞0得c＞b，知c最大．
1－x1－x
答案：C
2．有以下四个不等式：①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③b2≥2|ab|.
其中恒成立的为( ) A．①② C．③④
B．②③ D．①④
1
＞0；④a2＋|a|＋1
解析：对于①，(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3＜x2＋4x＋4＝(x＋2)2，故①不成立； 对于②，当a＝b＝0时，不等式显然不成立； 对于③，∵|a|≥0，∴|a|＋1＞0，∴∴③成立；
对于④，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|， ∴④成立． 答案：C
3．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件为( ) A．ab≠1
B．a≠－2 1
＞0， |a|＋1
C．ab≠1且a≠－2 D．ab≠1或a≠－2
解析：由x＞y，得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，所以有ab≠1或a≠－2.
答案：D 4．函数y＝4x－A．6 C．8
91
(x＞)的最小值是( )
22－4x
B．7 D．9
解析：y＝4x－
999＝4x＋＝4x－2＋＋2， 2－4x4x－24x－2
19
∵x＞，∴4x－2＞0，∴y≥29＋2＝8，当且仅当4x－2＝时，“＝”成立．
24x－2答案：C
5．已知q＞0且q≠1，m，n∈N*，若令A＝1＋qmn，B＝qm＋qn，则A与B的大小关
＋
系是( )
A．A＞B C．A＝B
＋
B．A＜B D．不能确定
＋
解析：∵1＋qmn－(qm＋qn)＝1＋qmn－qm－qn ＝(1－qm)(1－qn)．
∴当q＞1时，(1－qm)(1－qn)＞0； 当0＜q＜1时，(1－qm)(1－qn)＞0. 答案：A
111
6．已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最小值为( ) A．5 C．9
B．7 D．11
111
解析：把a＋b＋c＝1代入＋＋得到
abca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c bacacb＝3＋(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c) ≥3＋2＋2＋2＝9. 答案：C
二、填空题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
7．设a＝2－5，b＝5－2，c＝5－25，则a，b，c之间的大小关系是________． 解析：分别由a＜0，b＞0，c＞0，再由b2－c2＜0得b＜c，判断． 答案：c＞b＞a
8．若a＞0，b＞0，给出下列三个不等式： ①a＋b＋
111
≥22；②(a＋b)(a＋b)≥4； ab
a2＋b2③≥a＋b.
ab
其中正确的不等式有__________．(只填序号) 答案：①②③
9．若x＞0，y＞0，且x＋y≤ax＋y恒成立，则a的最小值是________． 解析：∵x＋y≤2?x＋y? ∴
x＋y
≤2，∴a≥2，∴amin＝2. x＋y
答案：2
10．已知关于x的不等式2x＋为__________．
解析：∵2x＋∴7≤4＋2a 33∴a≥，∴amin＝ 223答案：
2
λ11
11．设x＞0，y＞0，若不等式＋＋≥0恒成立，则实数λ的最小值是________．
xyx＋y解析：∵x＞0，y＞0， ∴原不等式可化为
yx11
－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋. xyxyyx
∵2＋x＋y≥2＋2
yxx·y＝4，
22＝2(x－a)＋＋2a≥4＋2a， x－ax－a
2
≥7，在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值x－a
11∴(x＋y)(x＋y)min＝4，即－λ≤4，λ≥－4. 答案：－4
12．已知a＞0，b＞0，c＞0，abc＝1，则x2y
解析：由y＋≥x(x＞0，y＞0)，
4x2y
得≥x－(x＞0，y＞0)，所以 y4
1
??2abc11111
＝2＝≥－(＋)， 3a?b＋c?a?b＋c?11a4bc
＋bc同理：
11111
≥b－(a＋c)，
4b?a＋c?
3111
＋3＋3的最小值为________．
a?b＋c?b?a＋c?c?a＋b?
311111
≥c－(a＋b)，
4c?a＋b?
311113313
相加得：左边≥(＋＋)≥ ＝.
abc22abc23
所以所求最小值为.
23
答案：
2
三、解答题(共2个小题，每小题10分，满分20分)
13．已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab. 证明：法一：(分析法)
要证c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab， 即要证－c2－ab＜a－c＜c2－ab， 即要证|a－c|＜c2－ab， 即要证(a－c)2＜c2－ab， 即要证a2－2ac＜－ab.
因为a＞0，所以只要证a－2c＜－b， 即要证a＋b＜2c.
由已知条件知，上式显然成立．所以原不等式成立． 法二：(综合法)
因为a＋b＜2c，所以a－2c＜－b. 又因为a＞0，所以a2－2ac＜－ab， 所以(a－c)2＜c2－ab， 所以|a－c|＜c2－ab，
所以－c2－ab＜a－c＜c2－ab， 所以c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab.
14．已知：an＝1×2＋2×3＋3×4＋?＋n?n＋1? (n∈N*)，求证：
n?n＋1?n?n＋2?
＜an＜. 22
证明：∵n?n＋1?＝n2＋n， ∴n?n＋1?＞n，
∴an＝1×2＋2×3＋?＋n?n＋1?＞1＋2＋3＋?＋n＝∵n?n＋1?＜∴an＜
n＋?n＋1?
， 2
n?n＋1?
. 2
1＋22＋33＋4n＋?n＋1?
＋＋＋?＋ 2222
n＋1n?n＋2?1
＝＋(2＋3＋?＋n)＋＝. 222n?n＋1?n?n＋2?综上得：＜an＜. 22