物理竞赛辅导讲义
第一部分：直线运动
提高题
1．汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动．当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车．根据上述的已知条件：
A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程
C．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间 D．不能求出上述三者中任何一个
2．火车以54km/h的速度沿平直轨道运行，进站刹车时的加速度是?0.3m/s2，在车站停1min，启动后的加速度是0.5m/s2。求火车由于暂停而延误的时间。
3．客车以速率v1前进，司机发现同一轨道正前方有一列货车以速率v2同向行驶，v2 ①、客车加速度至少多大才能避免相撞？ ②、若s0=200m，v1=30m/s，v2=10m/s，客车加速度大小a=1 m/s，两车是否相撞？③、若s0=200m，v1=30m/s，v2=10m/s，客车加速度大小a=0.2m/s，要求两车不相撞，则v2应为多大？ 2 2 4．一个人坐在车内观察雨点的运动，假设雨点相对地面以速率v竖直匀速下落，试写出下列情况下雨点的随时间变化而运动的运动方程和轨迹方程： ①、车静止不动；②、车沿水平方向速率u匀速运动；③、车沿水平方向作初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为a；④、车以线速度大小v做匀速圆周运动 5．一只兔子向着相距为S的大白菜走去。若它每秒所走的距离，总是从嘴到白菜剩余距离的一半。试分析兔子是否可以吃到大白菜？兔子平均速度的极限值是多6．如图所示，一个质点沿不同的路径从A到达B：沿弦AB，沿圆弧ADB，且经历的时间相等，则三种情况下： A、平均速度相同 B、平均速率不等 C、沿弦AB运动平均速率最小 D、平均加速度相同 7．一辆汽车从静止开始作匀加速直线运动，在第9妙内的求第9妙初和第9妙末的速度多大？ 少？ 沿圆弧ACB， 位移为8.5米， 8．一个小球从45米高处自由下落，经过一烟囱历时1妙，求烟囱的高度？（忽略空气阻力） 9．一个小球从屋顶自由下落，在t?0.25s内通过高度为2m的窗口，求窗台到屋顶的高度？（忽略空气阻力） 10．如图所示，一辆长为L的小车沿倾角为?的光滑加速度大小为gsin?，连续经过两个小光电管A和B，时间分别是tA,tB；求小车前端在两光电管之间运动的时 一、图像法 1 斜面下滑，所经历的间。 例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。AB两地相距s，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为 。。 例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为： A．s B．2s C．3s D．4s 例3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2为多少？老鼠从A点到达B点所用的时间t为多少？ 二、微元法 例1：如图所示，一个身高为h的人在灯以速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程 △t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端 C点到达C′点，由于△SAA′=v△t则人影顶端的 H?SCC??tH?h?t?SAA??HvH?h移动速度vC?lim?t?0?lim?t?0 可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶 端C点做匀速直线运动。（本题也可用相似三角形的知识解）。 三、等效法 例1：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度。 解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为 a初?a末2a?a??(n?1)an2?3an?a2n?(3n?1)a2na平? 22由匀变速运动的导出公式得2a平L?vB?v0 解得 vB?v0?2(3n?1)aLn 四、递推法 例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；?；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求： （1）、nt时刻质点的速度； （2）、nt时间内通过的总路程. 解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t末的速度为vt?at 2 2t末的速度为v2t?vt?2at,所以v2t?at?2at 3t末的速度为v2t?v2t?3at?at?2at?3at ?? 则nt末的速度为vnt?v(n?1)t?nat ?at?2at?3at???(n?1)at?nat?at(1?2?3???n) ?at?12(n?1)n?12n(n?1)at 112n(n?1)(2n?1)at. 12 （2）同理：可推得nt内通过的总路程s?例2：小球从高h0?180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小(n?2)， n求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2） 解析 小球从h0高处落地时，速率v0?2gh0?60m/s 2第一次跳起时和又落地时的速率v1?v0/2 第二次跳起时和又落地时的速率v2?v0/2 …m第m次跳起时和又落地时的速率vm?v0/2 每次跳起的高度依次h1? 通过的总路程?s?h0?2h1?2h2???2hm?? ?h0?2h0n2 ?h0?经过的总时间为?t?t0?t1?t2???tm?? ??v0gv0g?2v1g???12vmg?? v122g?h0n2,h2?v222g?h0n4， …(1?1n2?1n224????531n2m?2)??2h0n?12?h0?n?1n?1 h0?300m[1?2?1m???2?()??]nnvn?1?0()gn?1?3v0g?18s 3 五、极限法 解析：当斜面光滑时，?=0，物体上滑与下滑加速度大小相等，故仅B正确。再看如下一例： 解析：当k=1时，空气阻力为零，则空气阻力与重力之比当然为为零，故仅C正确。 六、对称法 例：如图所示，竖直上抛一个小球，小球两次经过高度为h处经历的时间为?t，球小球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间？（忽略空气阻力） 解析：根据竖直上抛运动的对称性特点，设上升最大高度为H，则： H?h?12g(?t2)2?12gtm 2hg?t422故小球在空中运动的时间为：T=2tm?2? 小球上抛的初速度大小，就等于下落的末速度大小： 小球上抛的初速度大小，就等于下落的末速度大小： v0?gtm?g2hg??t42 七、自由弦运动的等时性及应用 例1：一个物体沿有共同底边（其长度为L），的不同斜面，从顶部由静止开始无摩擦滑下，证明：沿450倾角的斜面滑下，所需时间最短，为：tmin?2Lg 例2：（1990年第二届全国中学生力学竞赛试题）一个质点自倾角为?的斜面上方定点A，沿光滑斜槽从静止开始滑下，为了使质点在最短时间到达斜面，求斜槽与竖直方向的夹角?应等于多少？ 解析：为了画一竖直圆通过起点A，并与不同终点的连线相切；可以先通过起点A作一水平线与斜边延长线交于o，然后作?AoC的角平分线交过A点的竖直于O；以O为圆心，以OA为半径画圆，如图所示。可以看出从A运动到在圆周上的的切点B2，所需时间最短；又因为?为等腰三角形OAB2顶角的外角，应等于不相邻的两内角之和，即：?=2?。 '' 4 提高题 1．A 2． 100s 3．①、 (v1?v2)2s022；②、略；③、v2>(30?45)m/s 5