2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第四节 二
次函数与幂函数教师用书 理
考纲要求 真题举例 命题角度 解幂函数的概念； 232016，全国卷Ⅰ，3,5分(幂函数的性1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数、质) 11合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的x2函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，2015，天津卷，8,5分(二次函数的图考查幂函数的图象与性质； 象) ，了解它们的变化情况； 2.对二次函数相关性质的考查是命题热点，大解并掌握二次函数的定义、图象及性质。 2015，福建卷，9,5分(二次方程的根) 选择、填空题出现。 微知识 小题练 自|主|排|查 1．幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝x叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。 (2)幂函数的图象比较：
α
2．二次函数 (1)解析式：
一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)。 顶点式：f(x)＝a(x－h)＋k(a≠0)。 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。 (2)图象与性质：
解析式 2
2
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 22 ?4ac－b，＋∞? ?4a????－∞，4ac－b? ??4a??在x∈?－，＋∞?上单调递增 ?2a?在x∈?－∞，－?上单调递减 2a??单调性 ??b?在x∈?－∞，－?上单调递增 2a??在x∈?－，＋∞?上单调递减 ?2a???b?b?b?奇偶性 当b＝0时为偶函数 顶点 ?－b，4ac－b? ?2a?4a??图象关于直线x＝－成轴对称图形 2a微点提醒
1．幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不出现在第四象限。至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
2．幂函数y＝x的系数为1，系数不为1的都不是幂函数，当α>0时，在(0，＋∞)上都是增函数，当α<0时，在(0，＋∞)上都是减函数，而不能说在定义域上是增函数或减函数。
3．对于函数y＝ax＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况；二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关，不能盲目利用配方法得出结论。
4．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法。特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路。
小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修1P24A组T6改编)若函数f(x)＝x＋bx＋c，且f(0)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝( ) A．－1 C．1
B．－2 D．4
2
2α
2对称性 b??c＝0，
【解析】 由f(0)＝0，f(3)＝0，得?
?9＋3b＋c＝0，?
??c＝0，
解得?
?b＝－3，?
所以f(x)＝x2
－3x，所以f(－1)＝4。故选D。
【答案】 D
2．(必修1P79习题2.3T2改编)已知幂函数f(x)的图象过点(8,4)，该幂函数的解析式是( )
A．y＝x C．y＝x
α
－1
B．y＝x 2D．y＝x
3
α
2
【解析】 设幂函数的解析式为y＝x，由于函数图象过点(8,4)，故有4＝8，解得α22
＝，该函数的解析式是y＝x。故选D。 33
【答案】 D
3．(必修1P44A组T9改编)已知函数f(x)＝x＋(a－1)x＋a在区间[2,5]上单调，则a的范围为________。
1－a【解析】 f(x)的对称轴为x＝，
21－a若为增函数需≤2，即a≥－3，
21－a若为减函数需≥5，即a≤－9，
2
所以a的范围为(－∞，－9]∪[－3，＋∞)。 【答案】 (－∞，－9]∪[－3，＋∞) 二、双基查验
1
1．函数y＝x的图象是( )
3
2
1
【解析】 显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0
3
1
时，x 3 【答案】 B 2．已知某二次函数的图象与函数y＝2x的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A．y＝2(x－1)＋3 C．y＝－2(x－1)＋3 2 22 2 B．y＝2(x＋1)＋3 D．y＝－2(x＋1)＋3 2 2 【解析】 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)＋3。故选D。 【答案】 D 3.如图所示，是二次函数y＝ax＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于( ) A. C．± 2 2 caB．－ cacaD．无法确定 【解析】 ∵|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝??＝－(∵a<0，c>0)。故选 aB。 【答案】 B 4．已知函数y＝x－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________。 【解析】 如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]。 2 ?c??? ca 【答案】 [1,2] 5．已知幂函数y＝f(x)的图象过点?2，________上递减。 1 【答案】 y＝x－ (0，＋∞) 2 ??2? ?，则此函数的解析式为________；在区间2?