随机过程习题 第5章
5.1设有周期信号如图题5-1所示，求它相关函数和功率谱密度。
解：首先，
an?13T/4?jn?0t15T/4?jn?0tedt?edtT/43T/4TTT/2 S?(f)1-1 t??1e?jn?/2?e?jn3?/21e?jn3?/2?e?jn5?/2??Tjn?0Tjn?0?2jn?0T[e?jn?/2?e?jn3?/2]
于是，
?4?24?(n?)2an?[1?cos(n?)]??2(n?)???0,n为奇数,n为偶数
所以，该信号的时间相关函数为
R(?)?n????a2n?1ej(2n?1)?0??2
确定性周期信号的功率谱密度是其时间相关函数的傅氏变换，即
?(f)?n?????a2n?1?(f?(2n?1)f0)2
或者
1
随机过程习题 第5章
5.2 5.3
5.4设有二平稳随机过程，它们的功率谱密度分别为，
（1）
S?(f)?(2?f)2(2?f)?3(2?f)?2(2?f)2?1(2?f)?5(2?f)?64242
（2）
S?(f)?
求其相应的相关函数及其均方值。 (1) 解：因为
S?(f)?(2?f)2(2?f)?3(2?f)?22(2?f)2?2?1(2?f)2?142
?
所以，相关函数为
R??(?)?2?e22|?|?1?|?|e 2均方值为
E(|?(t)|2)?R??(0)?21? 22(2) 解：因为
2
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S?(f)?(2?f)2?1(2?f)?5(2?f)?62?1(2?f)?2242
?(2?f)?32
所以相关函数为：
R??(?)?3?e32|?|?2?|?|e 4 均方值为：
E(|?(t)|2)?R??(0)?32? 345.5 设一平稳随机过程的功率谱密度如图题5-5所示，即，
S0S?(f)?{0(f0??f?f?f0??f)
（其它频率）求其相关函数及其均方值。
S?(f)2?f
?f0S00f0f图题 5-5
解：参见教材348页图5-10，将其中的?f用代替，得相关函数
R?(?)??????S?(f)ej2?f?df
?f0??f?f0??f??f0??ff0??fS0ej2?f?df??f0??ff0??fS0ej2?f?df?f0??f?f0??f
ej2?f??S0j2??ej2?f??S0j2??
3
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?S0ej2?f???2S0sin(2??f?)?S0e?j2?f???sin(2??f?)
???sin(2??f?)cos(2?f0?)
于是均方值为
R?(0)?limR?(?)?lim4S0?fcos(2?f0?)??????sin(2??f?)?4S0?f2??f?
5.6 设有线性时不变动态系统，其冲激响应为h(t)。如果输入为一平稳随机过程?(t)，它的相关函数为R?(?)，协方差函数为C?(?)，试证输出过程?(t)的相关函数可以表示为
R?(?)?????R(??????u)Rh(u)du
其中，Ru(u)??h(t)Rh(t?u)dt。Rh(u)称为系统的相关函数，并证明
D?(t)?Var{?(t)}????C?(u)Rh(u)du
???(1) 证明：输出过程为
?(t)?h(t)??(t)???(u)h(t?u)du
???R(t,t)???????????R?(?u?v)h(t1?u)h(t2?v)dudv
作变换：??t?t1?u
??u?t1?t2?u?v?????????h(t)h(t?u)dt则上式 =?R?(t1?t2?u?)????du
????
=?R?(??u?)Rh(u?)du?
????(2) 证明：因为
2D[?(t)]?R?(0)???
而
????h(t?u)??du =???h(t?u)du =???h(u)du
????????????及
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随机过程习题 第5章
R?(0)????R?(?u)Rh(u)du
??????2?D[?(t)]??[R(?u)???]R(u)du
2而[R(?u)???]?C?(u)。所以原式得证。
5.7 设有一“平均电路”如图题5-7所示，即当输入为x(t)时，平均电路的输出为
y(t)?1T?t?Tx(u)du
t
(1) 试证该电路的冲激相应为
?1?h(t)??T?0? 平均电路 x(t) y(t)? 图题 5-7 1T?t?Tx(u)du t?0?t?T??其它时间?
(2) 求第6题所定义的系统的相关函数为Rh???
（1）如果该电路的输入为一平稳随机过程，其协方差函数为
?2??1?????C?(?)????T0??0???????T0??其它?值?
用上题的方法求输出过程?(t)的方差D[?(t)] 解：
(1) 由给定的输入和输出之间的关系可得：
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