第十二章 光 学
练 习 一
。
三. 计算题
1. 在双缝干涉实验中，用波长??546nm的单色光照射，双缝与屏的距离D=300mm，测得中央明条纹两侧的两个第五级明条纹之间的间距为12.2mm，求双缝间的距离。 解：由在杨氏双缝干涉实验中，亮条纹的位置由x?Dk?来确定。 d用波长??546nm的单色光照射，得到两个第五级明条纹之间的间距：?x5?双缝间的距离：d?D10? dD10? ?x5d?30010?546?10?9m，d?1.34?10?4m 12.22. 用很薄的云母片（n=1.58）覆盖在双缝实验装置中的一条缝上，这时屏幕上的零级条纹移到原来的第七级明条纹的位置上，如果入射光波长为550nm，试问云母片的厚度为多少？ （不考虑光线通过云母片时折射引起的光线偏折）。 解：r2?r1?0
忽略光线在其中的偏折，设其厚度为e，并设在下侧缝上覆盖云母片，零级明纹下移，O点成为第7级明纹位置，则有 r2??r1?7?
即 [(r2?e)?ne]?r1?(r2?r1)?(n?1)e
（n-1）e=7? =
所以 e?7??6.64?10?3mm n?13. 在一双缝实验中，缝间距为5.0mm，缝离屏1.0m，在屏上可见到两个干涉图样。一个由??480nm的光产生，另一个由?'?600nm的光产生。问在屏上两个不同图样第三级干涉条纹之间的距离是多少?
D3? dD对于 ?'?600nm的光，第三级条纹的位置：x'?3?'
d解：对于??480nm的光，第三级条纹的位置：x?那么 ?x?x'?x?D3(?'??)，?x?7.2?10?5m d 1
三. 计算题
1. 白光垂直照射到空气中一厚度为380nm的肥皂水膜上，试问水膜表面在可见光范围内满足反射光干涉加强的光波波长为多少？（肥皂水的折射率为1.33） 解：反射光干涉加强时2ne??k?1,2,3,?? ?k?24ne ??
2k?1在可见光范围内，反射加强的光波波长分别为 k?2??1?674nm
?1?404nm
k?32. 在折射率为n=1.68的平板玻璃表面涂一层折射率为n=1.38的MgF2透明薄膜，可以减少玻璃表面的反射光。若有波长??500nm的单色光垂直入射，为了尽量减少反射，则
MgF2薄膜的最小厚度应是多少?
解：MgF2透明薄膜上下两个表面反射光在相遇点的光程差：
要求反射最小，满足2en2?(2k?1)??2en2（上下两个表面的反射光均有半波损失）。
?2
MgF2薄膜的最小厚度：emin??4n2
?8将n2?1.38和??500nm带入得到：emin?9.058?10m
3. 一玻璃劈尖的末端的厚度为0.5mm，折射率为1.50。今用波长为700nm的平行单色光以30的入射角射到劈尖的上表面，试求：（1）在玻璃劈尖的上表面所形成的干涉条纹数目？（2）若以尺寸完全相同的由玻璃片形成的空气劈尖代替上述的玻璃劈尖，则所产生的条纹数目又为多少？
解：（1）入射角 i?30，对空气中的玻璃劈尖应考虑半波损失，根据薄膜干涉公式 ??2ekn2?n1sini?220222?0?2?k? 明纹
即 ??2ek1.5?sin30?则有 ??22ek??2?k? 明纹
?2?k?
12? ?e?e?e?? 故 ek?kk?1k2222k? 2
从此结果可以看出，平行光若不是垂直射向薄膜表面，则?e?那么在玻璃劈尖的上表面所形成的干涉条纹数目
?2n2不成立。
ee0.5?10?3N????22?2020条
?e?/22700?10?9
（2）若以空气劈尖代替，则可得到
??2ek1?1.5sin30?220?2?k?
=
7?ek??k? 222? 7 ?e??则在玻璃片形成的空气劈尖的上表面，干涉条纹数目为
ee0.5?10?3N?????7?945条 ?9?e?2?/72?700?10
三. 计算题
1. 波长为500nm的平行单色光垂直地入射于一宽为1mm的狭缝，若在缝的后面有一焦距为100cm的薄透镜，使光线会聚于一屏幕上，试求：（1） 中央明纹宽度；（2）第一级明纹的位置；（3）中央明纹两侧第二级暗纹之间的距离。 解：（1）中央明纹宽度：?x0?f'2?，?x0?10?3m a（2）第一级明纹的位置：因asin???(2k?1)?3?，所以sin?1?? 22ax1?f'sin?1??3?f'，x1??7.5?10?4m 2a?3（3）?x?2?x0?2?10m
2. 用波长?1?400nm和?2?700nm的混合光垂直照射单缝。在衍射图样中，?1的第k1级明纹中心位置恰与?2的第k2级暗纹中心位置重合，求k1和k2。试问?1的暗纹中心位置能否与?2的暗纹中心位置重合？ 解：（1）据题意有
3
asin??(2k1?1) asin??k2?2?12
(2k1?1)7?2k24即?2?700nm的第2，6，10等级暗纹与?1?400nm的第3、10、17等级明纹重叠。 （2）置于两衍射图样中的暗纹中心位置能否重合，则由暗纹条件
k1?1?k2?2k1?7k24
即?2?700nm的第4，8，12等4的整数倍级暗纹与?1?400nm的第7，14，21等7的整数倍级暗纹重叠。 三. 计算题
1. 通常亮度下，人眼瞳孔直径约3mm，人眼的最小分辨角是多大？远处两根细丝之间的距离为2.0mm，问离开多远恰能分辨？（人眼视觉最敏感的黄绿光波长??550nm） 解：(1)根据瑞利判据：人眼瞳孔的最小分辨角：
?5.5?10?7?R?1.22?1.22??2.24?10?4 ?3D3?102.0?10?3??1.22 (2)设两根细丝离开x远时人眼恰能分辨，则
xD2.0D，x?8.93m 将??550nm，D?3.0mm代入得到：x?1.22?2. 波长为600nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明条纹出现在sin??0.20处，第四级缺级，试问：
（1）光栅常量（a?b）有多大？（2）光栅上狭缝可能的最小宽度a有多大？
（a+b）sin?=k?，根据第二级明条纹衍射角在sin?2?0.20处，解：（1）由光栅方程
k?2?600?10?9??6?10?6(m) 可得光栅常量为a?b?sin?0.20（a+b）sin?=k? 和 asin?=k?? （2）根据缺级条件
因第四级缺级，有
a?bk48????... ak?12a?b6?10?6??1.5?10?6(m) 可得a?44
4
3. 用一束具有两种波长?1?600nm,?2?400nm的平行光垂直入射在光栅上，发现距中
央明纹5cm处，?1光的第k级主极大和?2光的第(k+1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f=50 m，试求：（1）k=?（2）光栅常数d=? 解：(1)根据题意对于两种波长的光有：
dsin??k?1和dsin??(k?1)?2
从上面两式得到：k?将?1?600nm,?2?1??2
(2)又x?fsin?，x?f?2?400nm带入解得，k?2
k?1k?1d，d?fx
d?50cm?三. 计算题
2?600nm?5，d?1.2?10m
5cm1. 使自然光通过两个偏振化方向成60角的偏振片，透射光强为I1,今在这两个偏振片之间再插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30角，则透射光强为多少？ 解：设自然光的光强为I0，三个偏振片分别为A、B、C，依次排列，A和C偏振化方向间的夹角为?1=600，A和B偏振化方向间的夹角与B和C偏振化方向间的夹角相等，均为
???2=300。自然光通过A后的透射光为光强为
未插入B时，透过C的光强为I1。 根据马吕斯定律有 I1?I0的线偏振光。 2I0Icos2600=0 28在A和C间插入B后，设透过B的光强为IB。设透过C的光强为I2。有
IB?I0399cos2300=I0，I2?IBcos2300=I0=I1=2.25I1 283242. 两偏振片叠在一起， 欲使一束垂直入射的线偏振光经过这两个偏振片之后振动方向转过
90?，且使出射光强尽可能大，那么入射光振动方向和两偏振片的偏振化方向间的夹角应如
何选择？这种情况下的最大出射光强与入射光强的比值是多少？
解：设入射线偏振光的强度为I0，入射光振动方向A和两偏振片的偏振化方向如图所示。 根据题意：????90
通过P1的偏振光强度 I1?I0cos20?
通过P2的偏振光强度 I2?I0cos0将??90??代入得到 I2?02?cos2?
1I0sin22? 4显然, 当????45时，出射光强最大。
5
I2?1I0 4最大出射光强与入射光强的比值：
I21? I04
6