浅谈描述金属中电子气的三种方法
首先介绍下金属中的电子气的基本概念。金属中的电子气是指二维电子气，如果三维固体中电子的运动在某一个方向(如z方向)上受到阻挡(限制),那么,电子就只能在另外两个方向(x、y方向)上运动,称为二维电子气。固体中电子的状态和行为是了解固体的物理、化学性质的基础。实际上，对异质结中导带电子的作用而言，该“尖峰”也就是电子的势垒，“凹口”也就是电子的势阱。因此，实际上“尖峰”中的电场有驱赶电子的作用，即形成耗尽层；“凹口”中的电场有驱赶空穴、积累电子的作用，在条件合适时，即可形成电子积累层（即表面导电沟道）。如果“凹口”势阱的深度足够大，则其中的电子就只能在势阱中沿着平面的各个方向运动（即紧贴着异质结界面运动），即为二维运动的电子；进而，若引入有效质量概念，则可认为这些电子是经典自由电子，从而可把异质结势阱中的电子看作为具有一定有效质量的所谓“二维电子气”（2-DEG）。实际上，其他半导体表面沟道（例如MOSFET的沟道）中的电子也与这些电子一样，都是二维电子气。
二维电子气还具有许多奇特的性质。例如（为整数量子Hall效应和分数量子Hall效应。
描述金属中的电子气的理论中，有托马斯-费米近似方法，哈特利-福克近似方法，动态介电函数方法等方法。
1、托马斯-费米近似方法
托马斯-费米近似方法托马斯-费米近似是对玻色气体巨配分函数的一种简化描述。他认为热力学中的所有量只是变量z，β，v的函数，在求所有热力学量偏微分时，只选择以上变量中的一个作为变量，其他两个都看着常量来解决。最后以一个变量积分的形式来表示巨配分函数。托马斯和费米用电子在空间的密
?度分布函数?(r)来描述系统的运动状态，认为势能(包括电子间相互作用)是具??有电荷密度?e?(r)的经典系统的势能，而动能则是具有相同密度 ?(r)的理想费
米子系统的动能。
?于是，可以把系统总能量用 ?(r) 表示为
其中
为外场势，而总电子数为
。
?在基态，电子的密度分布 ?(r) 应在保证总电子数的条件下使能量E取极?小值。于是对系统总能量取变分可以得到在基态电子密度 ?(r)满足方程
其中?是一个常数，?e?0对应着系统的化学势，而?是总电场的势函数
在基态，处在费米面上的电子的动能是化学势与总的电势能之差 e(???0)。可以把上式中的第二项记为?e，它代表电子产生的静电势场，满足泊松方程
?。联立上述三个方程可解出基态的电子密度 ?(r) 。
托马斯-费米近似方法不是直接解薛定愕方程, 它认为将金属中电子看作限制在边长为a的立方体盒子中运动。 盒子内部势能为0。 盒外势能为无限大, 这样通过解定态薛定愕方程, 可得出金属中电子的许多性质, 如电子能级, 电子的最高能量, 电子的平均能量, 电子气的压强, 电子气的能级密度和磁化率而且费米气体模型在固体理论中和原子核结构上也有很大用处。
2、哈特利-福克近似
固体能带理论关于固体中电子运动的量子力学单电子理论。它的一个主要结论是固体中电子状态分布在某些限定的能量范围内，或者说这些状态组成了互相分隔开的一系列能带。理论基础固体能带理论是在量子力学刚确立之初，在用量子力学研究晶体中电子运动，主要是以绝热近似、单电子近似 (哈特利一福克近似)和库普曼定理为基础逐步发展起来的。 绝热近似解决了把固体中离子运动和价电子运动分开处理的问题。根据这个近似，处理固体这个复杂的多粒子系统时，
可以将点阵粒子固定在平衡位置来讨论电 子的运动状态(见绝热近似)。即使这样，我们面对的仍然是一个大量的处于相互作用和关联之中的电子的复杂体系，应该求解多电子系统波函数。能带理论采用单电子近似，把每个电子的运动看成是独立的、在一个等效势场中的运动。单电子近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特利一福克近似。哈特利一福克方程具有单电子薛定愕方程的形式。哈特里—福克方程源出于对多电子体系电子波函数的变分法处理。在玻恩-奥本海默近似条件下，一个多电子体系的电子运动与能量可以与原子核的运动和能量相互分离，这样利用电子哈密顿算子和多电子波函数便可以计算体系的电子能量，其能量的表达式为:
式中表示体系基态电子能量，表示体系的电子哈密顿算子，代表基
态多电子波函数。
是一个由体系单电子分子轨道波函数为基函数组建的斯莱特行列式形的多电子波函数，构建
的各个分子轨道相互之间是正交归一的，因而有限制条件
是体系电子哈密顿算子，根据玻恩-奥本海默近似，
可以将
，算子
分解为两部分
仅仅
涉及一个电子，算子是涉及两个电子的算子
考虑分子轨道的正交归一性，应用拉格朗日乘因子法对函数
应用变分法进行处理，式中
格朗日待定因子，
是
的缩略形式。
是拉
变分法的处理过程如下： 其中
考虑到流动坐标的不可区分性，可以简化为：
依照同样原理考虑流动坐标的不可分辨性，中的项有：
将两项相加，最终可以表示为：
若L函数处于最低点，则面对其中变量
在此可以取
向各个方向的微小变化都应该有，则在
表达式中，第一项前会产生
一个i的系数，对第一项取复共轭的第二项前会产生一个-i系数：
消去虚数单位，并与式中取复共轭的第二项：
所获得的
表达式相加，可以消去表达
在引入库仑算子和交换算子的概念之后，上述表达式可以改写为：