固体物理学习题
1. 求sc晶格中沿a1,a2,a3,?a1,?a2,?a3，以及面对角线，体对角线方向，和a1?2. 3. 4. 5. 6.
11a2?a3 方向的晶列指数。 23电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。 画出sc的（100），（110），（111），（121），（231）晶面。 证明晶面指数的两个定义等价。
证明，对于立方晶系，晶向?hkl?与晶面(hkl)正交。
7. 证明：
?2?1）、正基矢与倒基矢的关系 ai?bj?2??ij??
?02）、正格矢与倒格矢的关系 Rl??h?2?m （m为整数） 3）、两种点阵原胞间的关系???(2?)
?34）、正格子与倒格子互为对方的倒格子（倒格子的倒格子是正格子） 5）、倒格矢?h?h1b1?h2b2?h3b3与正格子晶面族(h1h2h3)正交.
8. 说明半导体硅单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞（Conventional unit cell）中的硅原子数；如果晶格常数为a，求正格子空间原胞（Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。
9. 说明氯化钠单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞中包含的原子数；如果晶格常数为a，求正格子空间
原胞（Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。 10. 求NaCl晶体中一个原胞的平均相互作用势能。 求一维NaCl晶体的马德隆常数。
求NaCl晶体的马德隆常数，仅计算至次次近邻。
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11. 用H原子的波函数（Rn,l, Yl,m）表示出Px, Py, Pz 轨道波函数；写出金刚石中C原子的四个sp杂化轨道波函数。 12. 问题：证明(2.4－5)可以等价地写成如下形式：
??r（1）uij????0r????ij（2）uij?rij?12126??r0????2???，r0为两原子体系的平衡距离。 ??r????ij??（约化单位：能/?，长度/r0） ?2rij?6，
13. 写出Lennard-Jones势。
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14. 已知离子晶体的总内能函数 U?N???n?，求：1）晶格常数a（对于NaCl结构）；2）平衡晶体的体变模量K；
?rr?3）、平衡晶体的结合能；4）抗张强度。 15. 黄昆课本习题2.1 16. 黄昆课本习题2.3
17. 计算一位单原子晶格中格波速度（相速度）vp，证明在长波极限（q?0），晶格中传播的格波就象在连续介质中传播一样。
18. 计算布里渊区边界处格波的群速度，并对结果进行讨论。 19. 一维双原子晶格，对长声学波（q?0，?-?0），证明： 1）???aq?AB?2?a?Y?q?q?qv， 它与连续介质的色散关系（?＝kv）一致，这是?-支被称为声学
m?Mm?M?2a波的原因。 2） ??B???1?A??表明，在长波限，两种原子振幅相同；又相邻原子的位相aq?0，故长波限声学波与连续机械波类
似。这是?-支被称为声学波的又一原因。 20. 一维双原子晶格，对长光学波（q?0），证明：
?2????Cons.??mM??说明这结果的物理意义。 m?M???B?m???????1?AM????21. 求三维晶格的波矢空间q点的分布密度。 22. 证明声子无真实物理动量。
23. 一维单原子晶格中两个声子q1和q2发生碰撞后形成第三个声子q3,求q3的大小: 1）
2?. 3a?????24. 二维正方格子，原胞基矢a1?ai?aj，a2?aj，求：
q1?q2?2)q1?q2??;6a??1) 倒基矢b1，b2；
2) 写出倒易空间中任意倒格点的位置矢量的表达式； 3) 画出第一布里渊区；
4) 两个声子q1,q2相撞生成q3，求q3：
???? 2
???(1)q1?0.15b1?0.2b2,(2)q1?0.3b1?0.2b2,???q2?0.1b1?0.2b2 ???q2?0.3b1?0.6b2
???25. 利用晶格振动的量子理论，导出爱因思坦模型的定容热容CV的表示式，并进一步证明： （1）T???E时，CV过渡到
杜隆－柏替定律。 （2）T???E时，此模型不正确。
26. 利用晶格振动的量子理论，导出德拜模型的定容热容CV的表示式，并进一步证明（1）T???D时，CV过渡到杜隆－
柏替定律。 （2）T???D时，此模型严格正确。 27. 求一维单原子链的振动模式密度g(?)。 28. 求德拜模型的振动模式密度g(?)
29. 计算一定模式（振动模）下原子的振幅与该模式中声子占有数的关系，并对结果进行讨论，说明T＝0时也有振动。 30. 求一个振动模?的平均声子占有数。
31. 对于??cq2，求振动模式密度g(?)：（a）三维情况；（b）二维情况；（c）一维情况。
32. 一边长为L的单价原子立方体金属块，由N个原子组成，将价电子视为自由电子。（1）求自由电子气的能级密度的表
0达式。（2）求T＝0K时，电子气的费米能EF的表达式及电子的平均动能。
33. 使用自由电子气模型证明绝对0K下k空间费米球的半径为kF=(3πn), n为电子密度。设有二价金属原子构成的晶体，试证明自由电子费米球与第一布里渊区边界相交（提示：倒格子空间离原点与最近的倒格子间连线的垂直平分面围成的区域位第一布里渊区，也称简约布里渊区） 解：（1）∵T=0时低于费米能EF0的能及全部被电子占据，而电子是费米子，每个状态只允许一个电子占据
0??0 (EF?EF)∴f(E)?? 0??1 (EF?EF)21/3
在能级间隔E—E+dE中的电子数dN=f(E)ρ(E)dE ∴N?dN???0EF01??(E)dE??320EF0203CEdE?CEF2
3其中C?4?V(2m) 带入上式得：
h232324?V(2m)02N?(E) F23h设n为电子密度，则n=N/V
3
24?V(2m)02(EF) ∴nV?23h323?2∴E?(3n?2)3
2m0F2∴T=0时费米球面半径k0F?02mEF??(3?n)
213得证。
（2）二价金属原子构成的晶体，其布拉伐格子为体心立方（bcc），其倒格子为面心立方（fcc） 在bcc中a、b、c为晶胞基矢，则a=ai, b=bj, c=ck 原胞基矢：
a1=a(-i +j +k)，a2=a(+i -j +k)，a3=a(+i +j +k)
?2???4???b1?a?a?(j?k)1323aa则fcc中， 24???4?b1?(j?k)?2aa∴在具有体心立方结构的二价金属原子的一个晶胞中，有4个电子 ∴电子密度n=4/a，代入自由电子费米球面半径k3
0F?02mEF??(3?n)得
213面心立方原胞和Wigner－Seitz原胞
面心立方原胞和Wigner－Seitz原胞
4
0kF?(12?) a(12?)4.91b12?4.76????aa2aa(12?)22?6.28?b1??a2aa1231231230kF?∵
0kF?
∴自由电子费米球与第一布里渊区边界相交。
34. 由泡利不相容原理，金属中费米面附近的自由电子容易被激发，费米能级以下的很低能级上的电子很难被激发，通常
被称为费米冻结。用此物理图像，估算在室温下金属中一个自由电子的比热。
解：电子的热容主要来自金属中费米面附近的自由电子的贡献。在室温T0时，能够发生跃迁的电子数为：
N'??0EF03EF?kBT2dN?C?0EF03EF?kBT29kTEdE?NB0
4EF（N为自由电子总数） ∵每个电子具有的能量为
3kBT 2327(kBT)2∴N’个可发生跃迁的电子总能量E?N'kBT? N028EF2Y?E27kB∴CV??N0
?T4EF∴金属中一个自由电子的比热
2CV27kBY C'V??0N4EF35. （20分）六角晶胞基矢是
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