实验二 二维离散傅立叶变换程序设计
一、实验目的与要求
通过对傅立叶变换原理的学习，掌握并编程验证二维离散傅立叶变换，理解二维傅立叶变换的主要性质。
二、知识点
1、数字图像傅立叶变换的目的
为了有效地和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（正变换）到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间（反变换或逆变换）以得到所需要的效果。傅立叶变换就一种重要的常用的变换，它把图像从图像空间变换到频率空间。
2、二维离散傅立叶变换
对于二维傅立叶变换，其离散形式如公式2-1所示：逆变换公式如2-2所示：
f(u,v)???F(u,v)eu?0v?0M?1N?1??uxvy????j2??????MN?????(2?1)
M?1N?1f(x,y)?频谱公式如2-3所示
??u?0v?0??uxvy??j2??????MN???F(u,v)e???(2?2)
F(u,v)?F(u,v)ej?(u,v)?R(u,v)?jI(u,v)F(u,v)?R2(u,v)?I2(u,v)??12
??(2?3)由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的。
3、一维快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform， FFT）离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长， 以至于无法容忍。为此，研究离散傅立叶变换的快速算法是非常有必要的。
下面介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT）思想，它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。采用该FFT算法，其运算次数正比于NlbN，当N很大时计算量可以大大减少。把公式（2-4）简记为旋转因子。
w?euxN?j2?uxN??(2?4)
则有一维傅立叶变换公式如（2-5）所示：
1N?1F(u)??f(x)eNx?0?j2?uxN1N?1ux??f(x)wN??(2?5) Nx?0这样一维离散傅立叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为 ：
?W0?0?F(0)????W0?1F(1)??????????????0?(N?1)?F(N?1)????Wux
WW1?01?1WW2?02?1??WW(N?1)?0(N?1)?1?W1?(N?1)W2?(N?1)?W(N?1)?(N?1)?f(0)??????f(1)??/N????????f(N?1)??????
式中，由W构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。 观察DFT的W阵，并结合W的定义表达式W=e
-j2π／N
，可以发现系数W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的， 不必进行
多次重复计算，且由于W的对称性，因此可进一步减少计算工作量。如果把一个离散序列分解
成若干短序列， 并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本思想。
三、实验内容及步骤
二维傅立叶变换的实现步骤：
1．读入一幅原始图像f1如1图：并用imshow()函数显示出来。
图1 原始图像
2．利用函数fft2,对其进行快速傅立叶变换, ft=fft2(f1); 3. 利用abs函数来得到傅立叶频谱（幅度谱），s1=abs(ft),利用imshow来可视化频谱图像，观察此图像的特点，Imshow(s1,[])；
4.使用以e为底的对数对图像的频谱进行拉伸，并显示结果，imshow(log(s1),[])，观察分析第三步和第四步的不同。
步骤三的频谱 步骤四的频谱
两者的异同，及不同的原因是什么？
5．利用函数fftshift将变换后的图像原点移动到频率矩形的中心，fs=fftshift(ft)； 显示变换了中心后的频谱图，Imshow(log(abs(fs)),[])，观察频谱的变化，与第四步的结果有什么不同？
步骤五的频谱 与步骤四不同点
6．利用傅立叶逆变换的实部值恢复原始的图像，g=real(ifft2(s1))，这样做的原因是：从理论上来说，如果计算傅立叶变换后的值F的输入是实数，逆变换后的值也应该是实数，但是
在实际中，ifft2的输出都会有很小的虚数分量，这是由浮点计算的舍入误差所导致的，因此我们在计算逆变换的后，提取结果的实部输出； figure,imshow(g);
7、利用imrotate函数，将f1图像顺时针旋转45度得到f2,如图2所示，语法f2=imrotate(f1,45);
图2 旋转后的图像
8.对旋转后的图像f2，仿照步骤2—4的方法，获取f2的对数拉伸的频谱图，与步骤四的结果对比，从傅里叶变换的性质来分析，结果不同的原因。 f2图像的对数频谱
观察与步骤四不同的地方是什么，
什么原因造成的？
9. 对图f1进行离散余弦变换，dt=dct2(f1);使用对数变换拉伸幅度谱，即dtl=log(abs(dt));显示变换结果imshow(dtl，[])；观察分析与步骤四的不同。
离散余弦变换频谱 观察分析与步骤四的不同及原因
10.对离散余弦变换的结果进行反变化，id=idct2（dt），并显示反变换结果。
四、考核要点
1、快速傅立叶变换的频谱图像； 3、傅立叶变换的性质