基于Matlab的Galton钉板问题
黄自力 高鹏 黄安康
摘要 在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模
型，称为古典概型。一般的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古典概型，galton钉板实验就是其中之一。
关键词 galton顶板 二项分布 poisson分布 正文
在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。一般的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古典概型，galton钉板实验就是其中之一。Galton
钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。右图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为0，1，2，?，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。向Galton钉板扔进一个小球，显然不能预测小球回落到哪一个格子，如果不断重复扔进过程，将会发生什么结果呢? 关于Galton
“高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷） 高尔顿是英国人类学家、生物统计学家.1822年2月6日生于伯明翰,1911年1月17日卒于萨里郡黑斯尔米尔.
高尔顿是生物学家达尔文的表弟.他早年在剑桥学习数学，后到伦敦攻读医学.1860年当选为皇家学会会员，1909年被封为爵士.1845—1852年深入到非
洲腹地探险、考察.
高尔顿是生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计学”的名词.现在统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的，他是怎样产生这些概念的呢？1870年，高尔顿在研究人类身长的遗传时，发现下列关系：高个子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趋势，而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势，即有“回归”到平均数去的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.高尔顿揭示了统计方法在生物学研究中是有用的，引进了回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析.开创了生物统计学研究的先河.他于1889年在《自然遗传》中，应用百分位数法和四分位偏差法代替离差度量.在现在的随机过程中有以他的姓氏命名的高尔顿─沃森过程（简称G─W过程）.
高尔顿发表了200篇论文和出版了十几部专著，涉及人体测量学，实验心理学等领域，其中数学始终起着重要作用.
他在统计学方面也有贡献，高尔顿在1877年发表关于种子的研究结果，指出回归到平均值（regression toward the mean）现象的存在，这个概念与现代统计学中的“回归”并不相同，但是却是回归一词的起源。在此后的研究中，高尔顿第一次使用了相关系数（correlation coefficient）的概念。他使用字母“r”来表示相关系数，这个传统一直延续至今。同时他也发表了关于指纹的论文和书籍，被认为对于现代利用指纹进行犯罪搜查方面有很大的贡献。
相关人物及学术成就
1. 李雅普诺夫 证明了在某些非常一般的充分条件下，当随机变量的个数无限增加时，独立随机变量的和的分布是趋于正态分布的。
2. 棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布，则当n充分大时，X近似地服从正态分布N?np,npq?或近似地
U?X?np~N(0,1)np(1?p)．
(1) 局部定理 对于任意p(0 kn?kCkpq?n1e2πnpq(k?np)2?2npq (2) 积分定理 对于任意p(0 k?k1?Ck2knpqkn?k1?e?2πu1u2u2?2du， 其中 ui?(ki?np)npq(i?1,2)． 3. 列维-林德伯格定理 设X1,X2,?,Xn是独立同分布随机变量，其数学期望 2EX??DX??(i?1,2,?,n)，则当n充分大时近似地 ii和方差存在：， 1nSn??Xi~N?n?,n?? ，Xn??Xi~N??,?2n?ni?1i?1 ， n2即对于任意实数a?b，当n充分大时，有 1??P?a??Xi?b??e?2πui?1??n1u2? u2 2du， a?n?b?n?u1?，u2?n?n?； 其中 P?a?Xn?b??u1?其中 1e?2πu1u2? u2 2du， a??b??，u2??n?n． 4. 泊松分布 若随机变量ξ的概率分布为: (k=0,1,2, ?,) (其中λ＞0为常数),则称ξ服从参数为λ的泊松分布,记为 ξ～P(λ). 相关理论的实际应用 1. 泊松分布的应用 泊松分布是一种重要的离散随机变量模型,例如电话局单位时间内收到的用户呼叫的次数,公交车站内单位时间内乘客数,土地上单位面积内杂草的数目等,大多可以用泊松分布来描述,众所周知,两个独立的泊松分布的和还是泊松分布,此性质简称为泊松分布具有可加性。与泊松分布紧密相联系的复合泊松分布、泊松过程,在精算数学和随机过程中有重要的应用,其中复合泊松分布是精算数学中短期聚合风险模型[1,2]的研究重点之一;泊松过程是一类重要的随机过程,它是研究随机质点流的基本的数学模型之一,其直观意义明确,广泛应用在生物学,物理学,通讯工程等领域。 观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示： P（x）=（m^x/x!)*e^(-m) p ( 0 ) = e ^ (-m) 称为泊松分布。例如采用0.05J/m2紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式： P（0）＝e^(-3)＝0.05； P（1）=（3/1！）e^(-3)=0.15； P（2）=（3^2/2！）e^(-3)=0.22； P（3）=0.22； P（4）=0.17；?? P（0）是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5％与采用0.05J/m2照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此P（1），P（2）??就意味着全部死亡的概率。 2. Galton问题应用 Galton问题可以演化为Brenoulli实验模型，其次galton钉板问题在生物统计学上也有重大的应用。 Galton钉板模拟(博彩问题) 在每一格子中放上适当价值的奖品，如依次为 10 1 0.2 0.2 1 8 (元)，扔一次小球你要付1元给庄主，如果小球落入某个格子你将获得相应价值的奖品，你合算吗？庄主会赚钱吗？ 奖品的设置 格子编号 0 1 2 3 4 5 奖品价值 5 1 0.2 0.2 1 5 实验目的 概率方法建立在“重复试验”的基础之上，统计规律只有在大量重复后才会 呈现出来，诸如随机变量、分布、均值、 方差等概念无一不体现了重复的思想。利用MATLAB软件进行随机模拟，可以方便地重现这一思想，更好地理解和掌握概率统计的内容。 预备知识 二项分布、数学期望以及MATLAB绘图命令 实验内容 1. 模拟Galton钉板试验，观察和体会概率分布列的意义； 2. 数学期望与平均收益的应用。 MATLAB相关命令 表22-1 Matlab二项分布模拟相关命令 函数名 rand moviein movie getframe binornd binostat binopdf binocdf plot 【步骤】 【Step1】：动画模拟Galton钉板试验 调用方式 rand(‘seed’,n) moviein(m) movie(m,n) getframe binornd() Binostat() Binopdf() Binocdf() plot(?) 含义 产生随机数 动画开始 播放动画n次 得到动画帧矩阵 二项分布随机数产生器 二项分布期望和方差 二项分布密度 二项分布累积分布函数 绘图