2018年全国3卷第16题(直线与圆锥曲线)
-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析
一、典例分析，融合贯通
典例1.【2018年全国高考课标3第16题】已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线
与C交于A，B两点．若∠AMB?90?，则k?________． 解法一：
点评：由题先设出直线方程，与抛物线方程联立，再借助条件∠AMB?90?，化为向量语言转换为关于k方程，
进行求解。解题以方程思想为指针，设而不求为桥梁，最终建立k方程，完成求解。 解法二：
同上，由∠AMB?90?，则kMA?kMB可得；kMA?kMB-1
y1-1y2-1?-1?k24k+4=0 x1+1x2+1\\k=2.
点评：将条件∠AMB?90?，解读为kMA?kMB-1，进行求解。
解法三： 如图所示，
y43A(x1,y1)M(-1,1)21C(x0,1)F(1,0)B(x2,y2)xO–1–2–3–4
点评：数形结合，将∠AMB?90?的条件化为圆，运用圆的切线性质而简化运算。
二．方法总结,胸有成竹
直线与圆锥曲线一直以来是我们高考关注的一个热点话题，主要涉及到圆锥曲线的方程和几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。综合考查学生的数学思想、数学方法与数学能力。 1. 直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题求解的基本思路：
由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想，运用圆锥曲线的定义与平面几何的知识，化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；另外采取“设而不求”法，“点差法”与弦长公式及韦达定理，减
少变量，建立方程去解决； 2. 基本知识与基本方法
（1）．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：
?f(x,y)?0直线l：f(x,y)?0和曲线C:g(x,y)?0的公共点坐标是方程组?的解，和C的公共点的个数等于
g(x,y)?0?方程组不同解的个数．这样就将l和C的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式?，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．
（2）．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）． （3）．弦长公式|AB|?1?k|x1?x2|?1?（4）．焦点弦长：
21|y1?y2|． 2k|PF|?e（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的准线的距d离，e是离心率）
三.精选试题，能力升级
1．【2018河南省焦作市高三联考】已知抛物线C： y2?2px(p?0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且
MO?MF?A.
3（O为坐标原点），则?MOF的面积为（ ） 2112 B. C. D.
2422 【答案】A
x22.【2018年全国高考课标1第11题】已知双曲线 C:?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直
3线与C的两条渐近线的交点分别为M,N若?OMN为直角三角形，则MN=
A.
3 B. 3 C. 23 D. 4 2【答案】B
【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为?30，且右焦点为F(2,0)，从而得到?FON?30， 3所以直线MN的倾斜角为600或1200，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为600， 可以得出直线MN的方程为y=3(x-2)，分别与两条渐近线y?33x和y??x联立， 33求得M(3,3),N(,?323332)，所以MN?(3?)2?(3?)?3，故选B. 2223．【2018湖南省长沙市高三联考】抛物线C： x2?2py(p?0)的焦点F与双曲线2y2?2x2?1的一个焦点重
MN合，过点F的直线交C于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于点M、N，若?O则AF的长为（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A
的面积为
1，2
24．【2018山东省潍坊市二模】直线y?k?x?2?(k?0)与抛物线C:y?8x交于A， B两点， F为C的焦点，
若sin?ABF?2sin?BAF，则k的值是（ ） A.
222 B. C. 1 D. 332 【答案】B
【解析】分别过A， B项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M， N，则AF?AM，
BF?BN. 设直线y?k?x?2?(k?0)与x轴交于点P，则P??2,0?.
5．【2018衡水金卷】已知抛物线x?2py(p?0)的焦点为F，过焦点F的直线l分别交抛物线于点A,B， 过
点A,B分别作抛物线的切线l1,l2，两切线l1,l2交于点M，若过点M且与y轴垂直的直线恰为圆x?y?1的一条切线，则p的值为（ ） A.
22211 B. C. 2 D. 4 42【答案】C
【解析】由题可知抛物线x?2py(p?0)的焦点为F ?0,2??p??,且过焦点F的直线斜率存在， 2?pp22 所以可设直线l:y?kx?，联立方程组{2 ,?x?2kpx?p?0,2x2?2py
y?kx?x2x 设A?x1,y1?，B?x2,y2?,则x1x2??p,x1?x2?2kp.又由x?2py得y?,?y??,2pp
22x1x1x12x1x12所以过A点的切线方程为l1:y?y1??x?x1?,?y?y1?x?. ?x?pppp2px1?x2x2x222同理可知过点B的切线方程为l2:y?x?,联立方程组{ ,?{ ,2xxpp2pxxy?12??y?2x?22p2p2p
x?因此点M?x1x12y?x?p2ppp??x1?x2,??,过点M与y轴垂直的直线为y??(p?0)，
22??2p??1,?p?2.故选C. 2而圆x2?y2?1与y轴负半轴交于点（0，-1），所以?点评：本题的思路比较自然，只要循序渐进，一步一步转化就可以了. 主要是计算有点复杂，在求出过点A的切
x1x12x2x22线方程l1:y?x?后，不必再重新求过点B的切线方程，只要利用对称性同理求出l2:y?x?p2pp2p可以提高解题效率.
6.【2017高考新课标I】已知F为抛物线C：y?4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与C交于A,B两点，直线l2与C交于D,E两点，则AB?DE的最小值为（ ）
A．16 【答案】A 【解析】
B．14
C．12
D．10
2
解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)，直线l1方程为y?k1(x?1)。
?y2?4x联立方程?得k12x2?2k12x?4x?k12?0，
?y?k1(x?1)