第四章机械振动
4．1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间． [解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = Acos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．
当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ = ±π/3． 物体的速度为v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)．
当t = 0时，v = -ωAsinφ，由于v> 0，所以sinφ< 0，因此：φ = -π/3．
简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)．
（2）当t = T/4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．
加速度为：a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + φ)= -π2Acos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此πt1 - π/3 = ±2π/3．
由于物体向x轴负方向运动，即v< 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．
当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v> 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0， 可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2> 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2， 可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．
所需要的时间为：Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．
方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v< 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．
[注意]根据振动方程x = Acos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x0/A)，（-π<φ<= π）， 初位相的取值由速度决定．
由于v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωAsinφ，当v> 0时，sinφ< 0，因此 φ = -arccos(x0/A)；
当v< 0时，sinφ> 0，因此φ = arccos(x0/A)π/3．
可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ = π．
4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：
（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T； （2）振动表达式； x （3）画出旋转矢量图． A a [解答]方法一：由位相求时间．
b A/2（1）设曲线方程为x = AcosΦ，
c 其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位． O d 由于xa = A，所以cosΦa = 1，因此Φa = 0．
由于xb = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此Φb = ±π/3；
e 由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此
图 4.2 Φb = π/3．
由于xc = 0，所以cosΦc = 0，
又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．
同理可得其他两点位相为：Φd = 2π/3，Φe = π．
c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta = T/6． 到达b点的时刻为tb = 2ta = T/3．
t 到达c点的时刻为tc = ta + T/4 = 5T/12． 到达d点的时刻为td = tc + T/12 = T/2． 到达e点的时刻为te = ta + T/2 = 2T/3．
（2）设振动表达式为：x = Acos(ωt + φ)，
当t = 0时，x = A/2时，所以cosφ = 0.5，因此φ =±π/3； 由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ = -π/3， 因此振动表达式为
x?Acos(2?t??)． T3另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．
（3）如图旋转矢量图所示．
方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴 c d b 相交于f点，由于xf = 0，根据运动方程，可得
cos(2?所以：2?t??)?0 T3e O A φ a x tfT??3???2．
x A a A/2f O b c d t 点的
显然f点的速度大于零，所以取负值，解得
tf = -T/12．
从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a时刻为：ta = T/4 + tf = T/6， 其位相为：?a?2?ta???0． T3由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相． e
4．3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10-2m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．
（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程；
-1
（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s速度向上运动，求运动方程． [解答]当物体平衡时，有：Mg – kx0 = 0， 所以弹簧的倔强系数为：k = Mg/x0， 物体振动的圆频率为：??s-1)． k/M?g/x0= 10(rad·2x0?(v0/?)2?|x0|=
设物体的运动方程为：x = Acos(ωt + φ)．
（1）当t = 0时，x0 = -8.0×10-2m，v0 = 0，因此振幅为：A?8.0×10-2(m)；
由于初位移为x0 = -A，所以cosφ = -1，初位相为：φ = π． 运动方程为：x = 8.0×10-2cos(10t + π)．
（2）当t = 0时，x0 = 0，v0 = -0.60(m·s-1)，因此振幅为：A?2x0?(v0/?)2= |v0/ω|=
6.0×10-2(m)；
由于cosφ = 0，所以φ = π/2；运动方程为：x = 6.0×10-2cos(10t + π/2)．
4．4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；
（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
2?)的规律3（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程：x = Acos(ωt + φ)，
可知圆频率为：ω =8π，周期T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，振幅A = 0.1(m)，初位相φ = 2π/3．
（2）速度的最大值为：vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s-1)； t=1,2,10s 22-2
加速度的最大值为：am = ωA = 6.4π = 63.2(m·s)． 2A （3）弹簧的倔强系数为：k = mω，最大回复力为:f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为:E = kA2/2 = mω2A2/2 = 3.16×10-2(J)， O 平均动能和平均势能为:Ek?Ep= kA2/4 = mω2A2/4 = 1.58×10-2(J)． （4）如图所示，当t为1，2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．
4．5 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．
[解答]设它们的振动方程为:x = Acos(ωt + φ)， 当x = A/2时，可得位相为:ωt + φ = ±π/3．
A 由于它们在相遇时反相，可取
Φ1 = (ωt + φ)1 = -π/3，
x O Φ2 = (ωt + φ)2 = π/3，
它们的相差为:ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3，
或者:ΔΦ` = 2π –ΔΦ = 4π/3．矢量图如图所示．
4．6一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg，振动频率v = 1.0×1014Hz，振幅A = 1.0×10-11m．试计算：
（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．
[解答]（1）氢原子的圆频率为:ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1)， 最大速度为:vm = ωA = 6.28×103(m·s-1)．
（2）氢原子的能量为:E?x 12mvm= 3.32×10-20(J)． 2
4．7 如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0×10-2m，求：
（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？ （3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？ [解答]（1）重物的圆频率为：ω = 2π/T = 4π，
图4.7 其最大加速度为：am = ω2A，
合力为：F = mam，方向向上．
重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以F = N – G． 重物对平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力： N = G + F = m(g +am) = m(g +ω2A) = 12.96(N)．
（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为：N = m(g - ω2A)． 当重物跳离平板时，N = 0，频率不变时，振幅为：A = g/ω2 = 3.2×10-2(m)．
（3）振幅不变时，频率为：???1?2?2?g= 3.52(Hz)． A
4．8 两轻弹簧与小球串连在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A和B之间，整个系统放在光滑水平面上．设两弹簧的原长分别为l1和l2，倔强系统分别为k1和k2，A和B间距为L，小球的质量为m．
（1）试确定小球的平衡位置；
A k1 m k2 B
图4.8 （2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否为简谐振动？振动周期为多少？
[解答]（1）这里不计小球的大小，不妨设L> l1 + l2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长x1和x2，因此得方程：L = l1 + x1 + l2 + x2；
小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即
k1x1 = k2x2． 将x2 = x1k1/k2代入第一个公式解得：x1?k2(L?l1?l2)．
k1?k2k2小球离A点的距离为：L1?l1?x1?l1?(L?l1?l2)．
k1?k2（2）以平衡位置为原点，取向右的方向为x轴正方向，当小球向右移动一个微小距离x时，左边弹簧拉长为x1 + x，弹力大小为：f1 = k1(x1 + x)， 方向向左；右边弹簧拉长为x1 - x，弹力大小为：f2 = k2(x2 - x)， 方向向右．根据牛顿第二定律得：k2(x2 - x) - k1(x1 + x) = ma，
d2x利用平衡条件得：m2?(k1?k2)x?0，即小球做简谐振动．
dtk1?k22?m小球振动的圆频率为：??，其周期为：T?． ?2?m?k1?k2
4．9如图所示，质量为10g的子弹以速度v = 103m·s-1水平射入木块，M m v 并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数
k = 8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：
（1）振动的振幅； 图4.9 （2）振动方程．
[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即：mv = (m + M)v0．
解得子弹射入后的速度为：v0 = mv/(m + M) = 2(m·s-1)，这也是它们振动的初速度．
子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得：(m + M) v02/2 = kA2/2， 所以振幅为：A?v0k m?M= 5×10-2(m)． kk（2）振动的圆频率为：??= 40(rad·s-1)．
m?M取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为：x = Acos(ωt + φ)．
当t = 0时，x = 0，可得：φ = ±π/2；
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：x = 5×10-2cos(40t - π/2)．
4．10如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．
[解答]物体落下后、碰撞前的速度为：v?2gh，
物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为
v0?mmv?m?Mm?M2gh，这也是它们振动的初速度．
k 设振动方程为：x = Acos(ωt + φ)，
h m M x1 x 2O x 图4.10
其中圆频率为：??k．
m?M物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则：x1 = Mg/k．
物体与托盘磁盘之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x2，则：x2 = (M + m)g/k． 取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为
x0 = x1 - x2 = -mg/k．
mg2khmg22ghm2因此振幅为：A?x?2?(； ?1?)?k(m?M)g?kk(m?M)202v0初位相为：??arctan
?v02kh． ??x0(m?M)g4．11 装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m间用细绳相连，细绳跨于桌
边定滑轮M上，m悬于细绳下端．已知弹簧的倔强系数为k = 50N·m-1，
T1 滑轮的转动惯量J = 0.02kg·m2，半径R = 0.2m，物体质量为m = 1.5kg，
k 取g = 10m·s-2．
（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；
（2）将物体m用手托起0.15m，再突然放手，任物体m下落而整个系统进入振动状态．设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m是做简谐振动； 图4.11 （3）确定物体m的振动周期；
（4）取物体m的平衡位置为原点，OX轴竖直向下，设振物体m相对于平衡位置的位移为x，写出振动方程．
[解答]（1）在平衡时，绳子的张力等于物体的重力
T = G = mg = 15(N)．
这也是对弹簧的拉力，所以弹簧的伸长为：x0 = mg/k = 0.3(m)．
（2）以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，当物体下落x时，弹簧拉长为x0 + x，因此水平绳子的张力为：T1 = k(x0 + x)．
设竖直绳子的张力为T2，对定滑轮可列转动方程：T2R – T1R = Jβ， 其中β是角加速度，与线加速度的关系是：β = a/R．
对于物体也可列方程：mg - T2 = ma． 转动方程化为：T2 – k(x0 + x) = aJ/R2，
与物体平动方程相加并利用平衡条件得：a(m + J/R2) = –kx，
M R T2 m O mg X d2xkx?0，故物体做简谐振动． 可得微分方程：2?dtm?J/R2k（3）简谐振动的圆频率为：??= 5(rad·s-1)． 2m?J/R周期为：T2 = 2π/ω = 1.26(s)．
（4）设物体振动方程为：x = Acos(ωt + φ)，其中振幅为：A = 0.15(m)． 当t = 0时，x = -0.15m，v0 = 0，可得：cosφ = -1，因此φ = π或-π， 所以振动方程为：x = 0.15cos(5t + π)，或x = 0.15cos(5t - π)．
4．12一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．
O [解答]通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为：Ic = mR2．
R 根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为
θ C I = Ic + mR2 = 2mR2．
当环偏离平衡位置时，重力的力矩为：M = mgRsinθ， 方向与角度θ增加的方向相反．
mg