习题五 电磁感应
一 选择题 1.(D)；2.(B)；3.A
1.在一自感线圈中通过的电流I随时间t的变化规律如图(a)所示，若以I的正流向作为?的正方向，则代表线圈内自感电动势?随时间t变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？[D]
0 t 0 t ??(b) 0 ? (C) t 0 ? (D) t (A) ? (B) (a) I 0 t
??2. 在圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB/dt变
化．有一长度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1(ab)和2(a＇b＇)，则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 ［B］
(A) ε2＝ε1≠0． (B) ε2>ε1． (C) ε2<ε1． (D) ε2＝ε1＝0．
aa'??BObb'l0
3．如图所示，一矩形线圈以一定的速度ν穿过一均匀磁场，若规定线圈中感应电动势ε沿顺时针方向为正值，则下面哪个曲线图正确表示了线圈中的ε和x的关系[ A ]
二 填空题
1.用导线制成一半径为r =10 cm的闭合圆形线圈，其电阻R =10 ?，均匀磁场垂直于线圈平面．欲使电路中有一稳定的感应电流i = 0.01 A，B的变化率应为dB /dt =_______________________________．?3.18 T/s
2.一自感线圈中，电流强度在 0.002 s内均匀地由10 A增加到12 A，此过程中线圈内自感电动势为 400 V，则线圈的自感系数为L =____________．0.400 H
3.自感系数L =0.3 H的螺线管中通以I =8 A的电流时，螺线管存储的磁场能量W =________．9.6 J
1
????4.半径为a的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n，通以交变电流i =Imsin?t，则围在管外的同轴圆形回路(半径为r)上的感生电动势为______________．??0nIm?a2?cos?t
5．真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比d1 / d2 =1/4．当它们通以相同电流时，两螺线管贮存的磁能之比为W1 / W2=___________．1∶16
6.四根辐条的金属轮子在均匀磁场B中转动，转轴与B平行，轮子和辐条都是导体，辐条长为R，轮子转速为n，则轮子中心O与轮边缘b之间的感应电动势为_______ BnR2 ，电势最高点是在_______O处．
7.有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴OO′上，则直导线与矩形线圈间的互感系数为__________．0
8．金属杆AB以匀速v =2 m/s平行于长直载流导线运动，导线与AB共面且相互垂直，如图所示．已知导线载有电流I = 40 A，则此金属杆中的感应电动势?i=____________
-5
伏特．(ln2 = 0.69) 1.11×10
三 计算题
1.长为L，质量为m的均匀金属细棒，以棒端O为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L的金属环上滑动．棒端O和金属环之间接一电阻R，整个环面处
?? OR?? O R b O?B
O′ ? v IA 1 m1 mB
?B??于均匀磁场B中，B的方向垂直纸面向里，如图．设t =0时，初角速度为?0．忽
略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻．求 (1) 当角速度为? 时金属棒内的动生电动势的大小．(2) 棒的角速度随时间变化的表达式．
B?L2解∶(1) Ei??vBdr??r?Bdr?
200(2)
LLJd?1??M ① J?mL2 ② dt31B?L22B2?L412)L? M??r?BIdr?BIL?B(22R4R20d?3B2L2??dt ?4RmL3B2L2???0exp(?t) 其中 exp(x) =ex
4Rm
2
2. (*选做)如图所示，一半径为r2电荷线密度为?的均匀带电圆环，里边有一半径为r1总电阻为R的导体环，两环共面同心(r2 >> r1)，当大环以变角速度?????t)绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流．其方向如何？
解：大环中相当于有电流 I??(t)??r2 这电流在O点处产生的磁感应强度大小
O r1 ?? ??t?? r2 1B??0I/(2r2)??0?(t)?
2以逆时针方向为小环回路的正方向，
??∴ Ei??1?0?(t)??r12 2d?1d?(t)????0?r12 dt2dt??0?r12d?(t)i????
R2RdtEi方向：d?(t) /dt >0时，i为负值，即i为顺时针方向． d?(t) /dt <0时，i为正值，即i为逆时针方向．
3.两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b的金属杆CD与两导线共面且垂直，相对位置如图．CD杆以速度v平行直线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断C、D两端哪端电势较高？
????解：建立坐标(如图)则：?B?B1?B2
B1??0I2?x， B2??0I2?(x?a)
I I C?v DB??0I2?(x?a)??0I2?x?， B方向⊙
a a b
d??Bvdx?2a?b?0Iv2?(11?)dx x?ax??dE??2a??0Iv?0Iv2(a?b)11?ln (?)dx2?2a?b2?x?ax?v D x +dx 2a+b xx感应电动势方向为C→D，D端电势较高．
3
I I C O 2a
4．载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半
?圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度 v平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压UM ? UN （提示：可引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM, 闭合回路总电动势为零）
解：动生电动势 EMeN?????(v?B)?dl?
MN v e ? 为计算简单，可引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM, 闭合回路总电动势 b E总?EMeN?ENM?0 I M N EMNEMeN??ENM?EMN ?a?b?Iva?b?I?? ??(v?B)?dl???v0dx??0ln2?a?b2?xMNa?bO
a
负号表示EMN的方向与x轴相反．
EMeN??UMa?b 方向N→M
2?a?b?Iva?b?UN??EMN?0ln
2?a?bln?0Iv5．(*选做)如图所示，一磁感应强度为B的均匀磁场充满在半径为R的圆柱形体内，有一长为l的金属棒放在磁场中，如果B正在以速率dB/dt增加，试求棒两端的电动势的大小，并确定其方向。
解：取棒元dl，其两端的电动势为
??rdBd??E?dl?cos?dl
2dt 整个金属棒两端的电动势
??R?o??l?a??b?R??????orE????a?l?b
??lrdB???E?dl??cos?dl
2dtl0rdB2dt0l??lR2?()22dl?dBlR2?(l)2 方向由a指向b.
dt22r6.如图所示，一电荷线密度为?的长直带电线(与一正方形线圈共面并与其一对边平行)以变速率v =v(t)沿
着其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为R，求t时刻方形线圈中感应电流i(t)的大小(不计线圈自身的自感)．
解:长直带电线运动相当于电流I?v(t)??． v (t) 正方形线圈内的磁通量可如下求出
?0adx?I a aIa??0Ia?ln2 d???adx ??2?0a?x2?2?a?x?0?dv(t)d??0adI?i???ln2?0?aln2
2?dtdt2?dti(t)?
4
? a
?iR??02?R?adv(t)ln2 dt