扬子中学2014届高三综合练习一
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上． ．．
1．已知集合A??a?2,2a2?a?，若3?A，则a值的集合是 . {?} 2． 已知复数z1?1?3i，在复平面内，z2??3?4i(i为虚数单位)．z1+z2对应的点在第 象限．
【答案】二．
3．若命题\对?x?R,x?4cx是\真命题，则实数c的取值范围?1?02【答案】?3．
2 ?x≥0，?y≥0， 7．设实数x，y满足?则z?3x?2y的最大值是 ． ? ?x?y≤3，? ?2x?y≤4，32【答案】7．
8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为2．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ． 【答案】2．
5开始 输入x 11是 .??c?
224． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?8x上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ． 【答案】3．
5．抽样统计上海、南京两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：
城市 上海 南京
0 9 11
1
空气质量指数(AQI)
第1天 10
1 11
5
第2天 11
2 11第3天 13
8 132
2
第4天 11
0 11第5天 11
2y?1x?1 29． 将函数f(x)?sin?2x????0?????的图象上所有点向右平移
x?yN ?个单位后得到的图象关于原点对称，则?等于 ． ?【答案】?．
?10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3114
［an(S4m+1)］=9，则+的最小值是 ． 2nm
【答案】5．
2|y?x|?1Y 输出y 结束 （第6题）
sin??，b??cos?， sin??，11．若向量a??cos?，且a?b≤2a?b，则c os(??)?的值是 ．则空气质量指数(AQI)较为稳定的城市为 （填上海、南京）．
【答案】南京．
6． 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是 ．
【答案】1．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线y?x?b是曲线y?alnx的切线，则当a＞0时，实数
b的最小值是 ． 【答案】?1．
1
13．已知集合M={(x,y)|x?3≤y≤x?1}，N={P|PA≥2PB,A(?1,0),B(1,0)}，则表示M
∩N的图形面积等于 ． 【答案】4??23．
314．若函数f(x)?ax2?20x?14(a?0)对任意实数t，在闭区间[t?1， t?1]上总存在两实数
x1、x2，使得|f(x1)?f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为 ．
从而AB1?A1B．…………………………………………………… 9分 又AB1?BC，而A1B?BC?B，A1B， BC?平面A1BC，
所以AB1?平面A1BC． …………………………………………… 14分
考查意图：本题是一个不规则的图形，让学生发挥空间想象能力。
16．(本小题满分14分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=3．
4【答案】8．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB1?BC，且AA1?AB． （1）求证：AB∥平面D1DCC1；
（2）求证：AB1⊥平面A1BC．
（1）证明：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，
AB?平面D1DCC1，
D1 A1 B1 C1
（1）求tanB的值；
（2）若c?2，求△ABC的面积．
（1）解：由正弦定理，得 sinC??3sinBcosA，……………………………2分
即sin(A?B)??3sinBcosA． 所以sinAcosB?cosAsinB??3sinBcosA． 从而sinAcosB??4sinBcosA．
D
A
B
（第15题）
C
因为cosAcosB?0，所以tanA??4．………………………………4分
tanBCD?平面D1DCC1，
B?3， 又tanC??tan(A?B)?tanA?tanB，由（1）知，3tan2tanAtanB?14tanB?14解得tanB?1．……………………………………………………………6分
2（2）解：由（1），得 sinA?2，sinB?1，sinC?3．……………10分
555所以AB//平面D1DCC1． …………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四边形A1ABB1为平行四边形，又AA1?AB，故四边形A1ABB1为菱形．
2
2?25?45．………………………12分 由正弦定理，得a?csinA?sinC335所以△ABC的面积为1acsinB?1?45?2?1?4．……………14分
22353
考查意图：虽然说2013年高考考了三角和向量的结合，但两角和与差还是考察的重点；因此如升降幂公式及角的变换等基础知识，前面试卷中首先涉及。
17．(本小题满分14分)
2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)过点(1，离心率为3， 3)，
22ab?c3 ?a?2，2?? ?a=4，?13（1）解：依题意，?2?2?1，解得?2
a4bb=1. ???222?c?a?b. ??2x所求椭圆的方程为?y2?1． ………………………………… 6分 4x12 y1?，则（2）解：设A?x1，?y12?1．
4????????3?x13?4y1由AP?2PC，得C．…………………………… 8分 ， 28?? 1)，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点P(1，43?x122代入椭圆方程x?y2?1，得
44???3?4y?1．
?8?221????????????????且AP?2PC，BP?2PD．
x12整理，得?y12?3(x1?y1)?19?0，………………………… 10分
4216（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率．
即x1?y1??1． ③
8y A O D P · C x B （第17题）
y2?，同理可得x2?y2??1． ④ ………………………… 12分 设B?x2，8 ③?④，得
y2?y1y?y1??1，即直线AB的斜率为k?2??1．… 14分 x2?x1x2?x1
18．(本小题满分16分)
已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2xa3
－2+1． x
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．
（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．
3
f ′(x)＝2＋
2a
，令f ′(x)＝0，得x＝－a． ……………………………2分 x33
①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增． … 4分
②当a＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )是单调递
增．
x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．…… 6分
综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．…………………… 8分 （2）解：因为f(x)为奇函数，
a3a3
所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－2＋1)＝2x＋ 2－1． …9分
xx①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立， a3
即2x＋ 2≥a对一切x＞0成立．
x
a
而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．
2所以a＜0不成立．………………………………………11分 ②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立， 故a＝0满足题设要求．…13分
③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a ，+∞)是增函数． 所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，
所以a＞0时也满足题设要求． … 15分
综上所述，a的取值范围是[0,??)．………………………… 16分
4
19．(本小题满分16分)
?的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为EF在弓形EMF内），∠EOF=2?．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计
3?上，设∠AOD=2?． 损耗)， AD∥EF，且点A、D在EF （1）求矩形铁片ABCD的面积S关于?的函数关系式；
（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos?的值．
M M · · D A O O O F E B C F E （第18题） ①
（1）解：设矩形铁片的面积为S，?AOM??．
M · A O D
B E ②
C F 当0????时（如图①），AB?4cos??2，AD?2?4sin?，
3S?AB?AD??4cos??2??2?4sin???16sin??2cos??1?．…………… 3分
当?≤???时（如图②），AB?2?4cos?，AD?2?4sin?， 32 故S?AB?AD?64sin?cos??32sin2?．
综上得，矩形铁片的面积S关于?的函数关系式为
?16sin??2cos??1?， 0?S??????3， ………………………………… 7分 ??32sin2?， ?3≤???2.）解：当0????3时，求导，得 S??16??cos??2cos??1??sin???2sin?????16?4cos2??cos??2?． 令S??0，得cos??33?18．………………………………… 10分
记区间(0， ?3)内余弦值等于33?18的角为?0（唯一存在）
．列表： ?0， ?0??0(?0， ?3)
??
?
0 增
极
减 函数 大值
函数
又当?3≤???2时，S?32sin2?在[?3， ?2)上的单调减函数，
所以当????10即cos??338时，矩形的面积最大．……………… 16分
20．(本小题满分16分)
已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,等比数列{bn}的首项为b,公比为a,其中a,b都是大
于1的正整数,且a1?b1,b2?a3. (1)求a的值;
(2)若对于任意的n?N?,总存在m?N?,使得am?3?bn成立,求b的值;
(3)令Cn?an?1?bn,问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)由已知,得an?a?(n?1)b,bn?b?an?1.由a1?b1,b2?a3,得
a?b,ab?a?2b.
因a,b都为大于1的正整数,故a≥2.又b?a,故b≥3 再由ab?a?2b,得 (a?2)b?a. 由b?a,故(a?2)b?b,即(a?3)b?0. 由b≥3,故a?3?0,解得a?3
于是2≤a?3,根据a?N,可得a?2
(2)由a?2,对于任意的n?N?,均存在m?N?,使得b(m?1)?5?b?2n?1,则
5
（2