第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
甲 内容要点
一．基本概念与性质
1．原函数与不定积分的概念
设函数f?x?和F?x?在区间I上有定义，若F??x??f?x?在区间I上成立，则称F?x?为f?x?在区间I上的原函数，f?x?在区间I中的全体原函数称为f?x?在区间I的不定积分，
记以?f?x?dx。其中?称为积分号，x称为积分变量，f?x?称为被积函数，f?x?dx称为被积表达式。
2．不定积分的性质
设?f?x?dx?F?x??C，其中F?x?为f?x?的一个原函数，C为任意常数。 则（1）?F??x?dx?F?x??C 或 （2）
?dF?x??F?x??C
??f?x?dx???f?x? 或 d??f?x?dx??f?x?dx
（3）?kf?x?dx?k?f?x?dx （4）??f?x??g?x??dx?
3．原函数的存在性
设f?x?在区间I上连续，则f?x?在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如?sin?x2?dx，?cos?x2?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx?f?x?dx??g?x?dx
，?e?x2dx等。被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
二．基本积分公式
1．?xdx? 2．?1x?x??1??1?C ????1，实常数?
dx?lnx?C
1lnaa?C ?a?0,a?1?
x 3．?axdx?
xxedx?e?C ? 4．?cosxdx?sinx?C 5．?sinxdx??cosx?C 6．?sec2xdx??cos?sin12xxdx?tanx?C dx??cotx?C
7．?cscxdx?212 8．?tanxsecxdx?secx?C 9．?cotxcscxdx??cscx?C 10．?tanxdx??lncosx?C 11．?cotxdx?lnsinx?C 12．?secxdx?lnsecx?tanx?C 13．?cscxdx?lncscx?cotx?C 14．? 15．? 16．?dxa?xdxa?x2222?arcsin1axaxa?C ?a?0?
?arctan?C ?a?0?
dxa?x22?12alna?xa?x2?C ?a?0?
17．?
dxx?a22?lnx?x?a2?C ?a?0?
三．换元积分法和分部积分法
1．第一换元积分法（凑微分法）
设?f?u?du?F?u??C，又??x?可导，则
?f???x?????x?dx??f???x??d??x?令u???x??f?u?du
?F?u??C?F???x???C
这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式： （1）?f?ax?b?dx? （2）?f?axn1a?f?ax1na?b?d?ax?b? ?a?0?
?bxdxx??n?1dx???faxn?bdax??n?b ?a?0,n?0?
? （3）?f?lnx? （4）?f??f?lnx?d?lnx?
?1?dx?1??1??2???f??d?? ?x?x?x??x? （5）?f?x?dxxx?2?f1?x?d?x?
faxx （6）?f?a
?axdx????d?a? ?a?0,a?1? lna?f?e?exxdx??f?e?d?e?
xx （7）?f?sinx?cosxdx??f?sinx?d?sinx?
（8）?f?cosx?sinxdx???f?cosx?d?cosx? （9）?f?tanx?sec2xdx??f?tanx?d?tanx?
（10）?f?cotx?csc2xdx???f?cotx?d?cotx? （11）?f?secx?secxtanxdx??f?secx?d?secx?
（12）?f?cscx?cscxcotxdx???f?cscx?d?cscx? （13）?f?arcsinx?1?x2dx??f?arcsinx?d?arcsinx?
（14）? （15）? （16）?f?arccosx?1?x22dx???f?arccosx?d?arccosx?
dx?f?arctanx?1?xf?arccotx?1?x2?f?arctanx?d?arctanx?
dx???f?arccotx?d?arccotx?
（17）?1??f?arctan?x??1?x21??1??dx???f?arctan?d?arctan?
xx????2 （18）?flnx?2??x?a22x?aflnx?2??dx?f?ln?x????dx?f?ln?x??x?a22??d?ln?x???d?ln?x?x?a22?? ?a?0? ?? ?a?0?
（19）???x?a222x?a22x?a22x?a （20）?
f??x?f?x?dx?lnf?x??C ?f?x??0?
2．第二换元积分法
设x???t?可导，且???t??0，若?f???t?????t?dt?G?t??C， 则?f?x?dx 其中t??令x???t??f???t?????t?dt?G?t??C?G???1?x???C
?1?x?为x???t?的反函数。
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：
第一类：被积函数是x与nax?b或x与nax?bcx?d或由e构成的代数式的根式，例如
xaex?b等。
n 只要令根式x???t?即可。
g?x??t，解出x???t?已经不再有根式，那么就作这种变量替换
第二类：被积函数含有Ax?Bx?C ?A?0?，如果仍令
2Ax?Bx?C?t解出
2x???t?仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将A?0时先化为
A?x?x0??l2?2?，A?0时，先化为??A??l2??x?x0?2?然后再作下列三种三角替换
之一： 根式的形式 所作替换 三角形示意图（求反函数用） a?x 22x?asint a?x 22x?atant x?a 22x?asect 值得注意：如果既能用上述第二换元积分法，又可以用第一换元积分法，那么一般用第一换元积分法比较简单。 例1．?xx?adx? 令x?a?u22221?2x?adx?a22?22?
1?21udu?133u2?C?13?x2?a2?3?C
例2．?x?ax22dx??2x?ax222dx?a?22?令x?a22?t1?2tt2?a2dt2
??2?adt???1?2222t?at?a?t2??dt ?2 ?t?a2lna?ta?t?C?x?a2?a2lna?a?a?xa?x2222?C
例3．?dxxx?12?x?0???x2dx?1?1????x?2????1?d???x??1?1????x?2
令1x?t??dt1?t2??lnt??1?t2??1?C??ln???x?2??1??1????C
?x???
3．分部积分法