石家庄经济学院本科生毕业论文
摘 要
分形是美籍法国应用数学家蒙德布罗特所提出的，它和英文中的fracture(断裂）和fraction（分数）有一定联系，体现出蒙德布罗特创立这个新的几何思想。分形几何作为一门新兴的交义学科，正在被越来越多的人所认识和学习。据美国科学家情报所调查，八十年代，全世界有1257种重要学术刊物所发表的论文中，有37.5%与分形有关。美国著名的物理学家Wheeler
【16】说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”。传统的欧式几何主要研究对象是规则图形和光滑曲线，对自然景物的描述却显得无能为力。而分形几何的创立，就是用来描述那些欧式几何无法描述的几何现象和事物的，被誉为“大自然本身的几何学”，使自然景物的描绘得以实现，这也是分形几何得到高度重视的原因之一。
斐波那契数列产生于一个关于兔子繁殖后代的问题：某人有一对兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子在第二个月后也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？斐波那契数列从问世到现在，不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。如今，斐波那契数列渗透到了数学的各个分支中。同时，在自然界和现实生活中斐波那契数列也得到了广泛的应用。如一些花草长出的枝条会出现斐波那契数列现象，大多数植物的花的花瓣数都恰是斐波那契数列等等。
斐波那契数列又被称为是黄金分割数列，而黄金分割本身就是一种分形的例子。二者都可以解决一些传统数学所不能解决的问题，所不同的是分形几何是通过几何的角度来解决问题，而斐波那契数列则是通过代数的角度来解决实际问题。
作为一门新兴的对现实生活有重要影响的两个定义，研究两者的对比关系，探讨如何更好地运用这两个定义来解决现实中的一些实际问题，具有重要意义。
关键字：斐波那契数列；分形几何；应用；对比
ABSTRACT
Fractal is first put forward by French-American applied mathematician Mandelbrot. It relates to the words “fracture” and “fraction”, reflecting Mandelbrot’s opinion on creating the new definition. As a rising interdiscipline subject, Fractal is being understood and learned by more and more people. According to the survey of
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American Scientist Information Institution, in the 1980s, among all the papers published on worldwide 1257 important academic journal, 37.5% is related to Fractal. American famous physicist Wheeler said: “ I am confident that who is unfamiliar with Fractal, who will not be considered as the science intellectual in the future.” Traditional European-style geometry takes norm graph and smooth curve as the main researching object, and seems helpless to natural features. The foundation of Fractal is to describe the phenomenon and features that European-style geometry cannot, and so Fractal is honored as “geometry of the nature”. Being able to describe the nature features is one of the reasons that Fractal is highly valued.
Fibonacci Series comes from the problem of rabbits raising: a man has a couple rabbits raised within walls, if they give birth to a couple rabbits each month, and the new born will give birth to a couple rabbits in the next month, after one year, how many rabbits will be there within the walls? From established to today, Fibonacci Series continues to show its importance in mathematical theory and application. Nowadays, Fibonacci Series have permeated to each branches of mathematic. Meanwhile Fibonacci Series extensively applies to nature and real life. For example, flowers and plants’ branches appear Fibonacci Series phenomenon, and most plant’s peal is exactly Fibonacci Series.
Fibonacci Series is also named as Golden Section Sequence， and golden section itself is an example of fractal. Both of them can solve some problems that traditional mathematic cannot. The difference between them is that Fractal solve problems according to geometrical perspective, and Fibonacci Series according to algebraic perspective.
Two definitions as a new reality have an important influence on the real life, the study of contrast relationship between Fractal and Fibonacci Series and discussion of how to use the two definition to solve problems in real life has great significance.
Key words: the Fibonacci series; Fractal geometry; Application; contrast
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目 录
1 前言 ................................................... 1 1.1 分形几何的由来与发展 ...............................................1 1.2 斐波那契数列的由来与发展 .........................................2 2 分形几何的定义与应用 ................................... 4 2.1 分形几何的定义 .......................................................4 2.2 分形几何的应用 .......................................................4 2.2.1 分形几何的数学实例--康托集合 ..................................4 2.2.2 DNA复制的分形性质 ................................................5 3 斐波那契数列的定义与应用 ...........................................6 3.1 斐波那契数列的定义 .................................................6 3.2 斐波那契数列的应用 .................................................6 3.2.1 拉姆定理的证明 .....................................................6 3.2.2 数学游戏（拼图）与斐波那契数列 ...................... 8 3.2.3 斐波那契数列与象棋马步 .............................. 9 4 分形几何与斐波那契数列的关系 ........................... 10 4.1 分形几何与黄金分割的联系 ........................................10 4.2 斐波那契数列与黄金分割 ...........................................11 5 结论 ................................................... 13 致 谢 ................................................... 15 参 考 文 献 .............................................. 16
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分形几何与“斐波那契数列”的比较
现如今几何分形与斐波那契数列都处在一个新兴的阶段，国内外大多数的研究都只是停留在两个独立的概念上，只是在研究他们分别的性质和应用，比如研究斐波那契数列在股票市场、动物繁殖、排列组合上的应用，研究几何分形在数论、动力系统、物理、复变函数的迭代等方面的应用。还没有给出过两者之间的对比关系的报告。
传统的欧式几何主要研究规则图形和光滑曲线，对自然景物的描述却显得无能为力。而分形几何的创立，就是用来描述那些欧式几何无法描述的几何现象和物体，被誉为“大自然本身的几何学”，使自然景物的描绘成为了可能。
斐波那契数列自从问世以来，不断地显示出来它在数学理论和应用上的重要作用。如今，斐波那契数列渗透了数学的各个分支中。同时，在自然界和现实生活中也得到了广泛的应用。所以，作为一门新兴的对现实生活有重要影响的两个定义，研究两者的对比关系，探讨如何更好地运用这两个定义来解决现实中的一些实际问题，具有重要意义。
1 前言
1.1 分形几何的由来与发展
恩格斯给数学下了这样的定义：研究客观世界的数量关系和空间形式的科学。其中的空间形式所指的就是几何学。传统的欧几里得几何学所研究的对象从二次曲面到多边形都是连续、规则而光滑的几何构型，尽管现代数学有长足的进步，用微积分做工具可以讨论“任意”形状的曲线和曲面，但事实上，仍仅限于在几乎处处连续可微的情形下。然而自然界的真实形态并非如此光滑、规则，如：弯弯曲曲的海岸线，充满空隙的宇宙空间，九曲回肠的河流，起伏不平的地貌，纵横交错的大地皱纹、裂缝，流体的湍流，相变点附近的涨落花斑，结晶体的分支，地下水和石油的渗流，静电传输误差，生物体的形态与结构，股票市场的变化??它们都不是欧式几何意义下的光滑、规则形体。根据研究问题的需求，光滑、规则的形态不仅不能较好地近似它们，有的甚至连一级近似也做不出来。19世纪的数学家也凭借想象创造出来了一些不够光滑、不够规则的形体（空间形式），如康托集合、维尔斯特拉斯曲线、科契曲线、谢尔品斯基地毯、皮亚洛曲线等等。但是长期以来，它们被视为是“病态”的或称为“数学怪物”。通常只是作为传统数学教科书中的反例，起着对正则结构的点缀和陪衬作用，很少对它们进行较详细的研究。
对自然界和科学实验中出现的凹凸不平，粗糙不光滑，破碎不连续的构型，在它们面前传统的几何语言是无能为力的，即使进行了数学描述，所进行的抽象也是错误的。例如在微积分中一条曲线可求长度，是认为每一段可用直线段近似，其前提是假定曲线上每一点都存在唯一确定的切线方向。而高度不光滑的曲线则是“处处不可微的”。
因此美籍法国应用数学家蒙德布洛特提出了分形一词，他最早是应用在解决海岸线长度的问题上。蒙德布罗特通过自己的不断研究与思考，1967年在美国的《科学》杂志上发表了题为：“英国海岸线有多长？”的论文。海岸线的弯曲程度大到几百公里，小到几米，用不同的尺度测量会得到不同的结果，尺度越小，测得的长度就越长，它的复杂性就在于“在每一种尺度上都有复杂的细节”。
蒙德布罗特认为自然界中许多事物诸如海岸线、河流、山脉都非常曲折复杂的，用任
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何尺度来测量都要忽略掉许多细节，因此用传统的度量是不可能得到准确的结果。蒙德布罗特对海岸线的本质的独特分析震惊了科学界。如果说这篇论文还只是分型概念的萌芽，那么，1973年蒙德布罗特在法兰西学院讲学期间就正式提出了分形几何的思想，认为这是一种可以描述自然界中那些极不规则的构型的几何，将会成为研究许多物理现象的有力工具。
1977年蒙德布罗特出版了奠基性的著作：《分形：形、机遇和维数》提出了分形的三要素，即构型、机遇和维数。1982年又出版了《自然界的分形几何》这也这是标志着分形几何迈入现代新兴学科之林。
1.2 斐波那契数列的由来与发展
根据高德纳的《计算机程序设计艺术》，1150年印度数学家 Gopala 和 Hemachandra 在研究箱子包装物件长宽刚好为1和2的可行方法数目时，首先描述了斐波那契数列。而在西方，最先研究斐波那契数列的人是意大利数学家列奥纳多·斐波那契。
十三世纪初，意大利数学家斐波那契在一本叫做《算盘书》的著作里面提出一个很有趣的问题：
假设有一对大兔子，一个月以后生产出一对小兔子（一雌一雄），而小兔子两个月以后又生产一对小兔子（一雌一雄），问一直这样下去，一年后一共有多少对兔子（假设兔子都不死）？
●→一对可以繁殖的兔子 ○→一对不能繁殖的兔子 如上图，可以做简单推算 第一个月：1对； 第二个月：1对； 第三个月：2对； 第四个月：3对； ??
如此推算下去，我们不难得出下面的结果：
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