学案4 匀变速直线运动的速度与位移的关系
[目标定位] 1.会推导速度与位移的关系式，知道式中各物理量的含义，会用公式v2－v20＝2ax进行分析和计算.2.掌握三个平均速度公式及其适用条件.3.会推导Δx＝aT2并会用它解决相关问题．
一、速度位移的关系式 [问题设计]
射击时，火药在枪筒中的燃烧．燃气膨胀，推动弹头加速运动．如果把子弹在枪筒中的运动看做匀加速直线运动，子弹在枪筒中运动的初速度为v0，子弹的加速度是a，枪筒长为x.试分析求解子弹射出枪口时的速度． 答案 v＝v0＋at① 1
x＝v0t＋at2②
2
由①②两式联立消去中间变量t，得： v2－v20＝2ax v＝2ax＋v20 [要点提炼]
1．匀变速直线运动的位移速度公式：v2－v20＝2ax，此式是矢量式，应用解题时一定要先选定正方向，并注意各量的符号． 若v0方向为正方向，则：
(1)物体做加速运动时，加速度a取正值；做减速运动时，加速度a取负值．
(2)位移x>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，x<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反． 2．当v0＝0时，v2＝2ax. 3．公式特点：不涉及时间． [延伸思考]
2物体做匀加速运动，取初速度v0方向为正方向，应用公式v2－v0＝2ax求解运动位移为x时
的速度v时，v有一正一负两解，两解都有意义吗？为什么？若匀减速运动呢？
答案 物体做单一方向的加速直线运动，速度不可能是负值，故正值有意义，负值无意义应舍掉．
若物体做匀减速直线运动，根据情况而定．如果物体做单方向的匀减速运动，只有正值有意
义；如果物体先做减速运动，速度减到零后再反向加速运动，速度的两个解都有意义，正值与负值分别表示减速运动过程中和反向加速运动过程中位移为x时的速度． 二、中间时刻的瞬时速度与平均速度 [问题设计]
一质点做匀变速直线运动的v－t图象如图1所示．已知一段时间内的初速度为v0，末速度为v.求：
图1
(1)这段时间内的平均速度(用v0、v表示)． (2)这段时间内中间时刻的瞬时速度vt.
2(3)这段位移中间位置的瞬时速度vx.
2答案 (1)因为v－t图象与t轴所围面积表示位移，t时间内质点的位移可表示为 v0＋vx＝·t①
2平均速度 xv＝②
t由①②两式得 v＝
v0＋v
2
(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：vt?2v0?v. 2(3)对前半位移有vx－v0＝2a222x 2对后半位移有v－vx＝2a222x 2两式联立可得vx＝
22v20＋v
2
[要点提炼]
v0＋v
1．中间时刻的瞬时速度vt＝.
2
22．中间位置的瞬时速度vx＝
22v20＋v
. 2
3．平均速度公式总结： x
v＝，适用条件：任意运动．
tv＝
v0＋v
，适用条件：匀变速直线运动． 2
v＝vt，适用条件：匀变速直线运动． 2注意 对匀变速直线运动有v＝vt＝2v0＋v
. 2
[延伸思考]
在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度vt与中间位置的瞬时速度vx哪一个大？
22答案 如图甲、乙所示，中间位置的瞬时速度与t′对应，故有vx>vt.
22
三、重要推论Δx＝aT2的推导及应用 [问题设计]
物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为x1，紧接着第二个T时间内的位移为x2.试证明：x2－x1＝aT2. 答案 证明：设物体的初速度为v0 自计时起T时间内的位移 1
x1＝v0T＋aT2①
2在第2个T时间内的位移
13
x2＝v0·2T＋a(2T)2－x1＝v0T＋aT2.②
22由①②两式得连续相等时间内的位移差为 31
Δx＝x2－x1＝v0T＋aT2－v0T－aT2＝aT2，
22即Δx＝aT2.
[要点提炼]
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2. 2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝?＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动． (2)求加速度
Δx
利用Δx＝aT2，可求得a＝2. T
一、速度与位移关系的简单应用
例1 A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于( ) A．1∶8 C．1∶5
B．1∶6 D．1∶3
解析 由公式v2－v2得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，联立两式可得xAB∶xBC＝1∶8. 0＝2ax，答案 A
v0＋v二、v＝vt＝的灵活运用
2
2例2 一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2m/s,4s内位移为20m，求： (1)质点4s末的速度； (2)质点2s末的速度．
解析 解法一 利用平均速度公式 xv0＋v4
4 s内的平均速度v＝＝，
t2代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s v0＋v42＋8
2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.
22解法二 利用两个基本公式 1
由x＝v0t＋at2得
2a＝1.5 m/s2 再由v＝v0＋at得
质点4 s末的速度v4＝(2＋1.5×4) m/s＝8 m/s 2 s末的速度v2＝(2＋1.5×2) m/s＝5 m/s
答案 (1)8m/s (2)5 m/s
针对训练 一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图2所示，那么0～t和t～3t两段时间内( )
图2
A．加速度大小之比为3∶1 B．位移大小之比为1∶2 C．平均速度大小之比为2∶1 D．平均速度大小之比为1∶1 答案 BD
vv1解析 两段的加速度大小分别为a1＝，a2＝，A错．两段的位移x1＝vt，x2＝vt，B对．两
t2t2v
段的平均速度v1＝v2＝，C错，D对．
2三、对Δx＝aT2的理解与应用
例3 做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4s的时间间隔内通过的位移分别是48m和80m，则这个物体的初速度和加速度各是多少？
Δx80－48
解析 解法一 根据关系式Δx＝aT2，物体的加速度a＝2＝ m/s2＝2 m/s2.由于前4 s2T41
内的位移48＝v0×4＋a×42，故初速度v0＝8 m/s.
2
1
解法二 设物体的初速度和加速度分别为v0、a.由公式x＝v0t＋at2得：
21
前4 s内的位移48＝v0×4＋a×42
21
前8 s内的位移48＋80＝v0×8＋a×82
2解以上两式得v0＝8 m/s，a＝2 m/s2
解法三 物体运动开始后第2 s、第6 s时的速度分别为： x148x2v1＝＝ m/s＝12 m/s，v2＝＝20 m/s
T4Tv2－v120－12故物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
Δt4T
初速度v0＝v1－a·＝12 m/s－2×2 m/s＝8 m/s
2