（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 f(t)dt??2tdt?x2 0x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????x??f(t)dt??2tdt?1
01?0, x?0? 故 F(x)??x2, 0?x?1 ?1, x?1? (3) P（1/2 0?x?2 ?kx?1, f(x)?? 其它 ?0, 求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5 2k2f(x)dx??(kx?1)dx?(x2?x)|0?2k?2?1 ??0解： 2 k??1/2 (1) ???（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 x2f(t)dt??(?0.5t?1)dt???x 04x 当0?x?2时， F(x)?? 当x?2时， F(x)????x??f(t)dt?1 ?0, x?0?2?x 故 F(x)????x, 0?x?2 ?4??1, x?2(3) P（1.5 ? 0?x?1?ax, f(x)?? ? 其它?0, 求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。 第16页，共48页 2f(x)dx??axdx?a?1 ??0解： 3 a?3/2 (1) ???1（2）当x?0时， F(x)??xf(t)dt?0 ?? 当0?x?1时， F(x)??x3/2??f(t)dt??x302tdt?x 当x?1时， F(x)??x??f(t)dt?1 ?0, x?0 故 F(x)???x3/2 , 0?x?1 ??1, x?1(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8 四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为 f(x)???2x, x?(0,A) ?0, 其它求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 解： (1) ?????f(x)dx??A02xdx?A2?1 A?1 2）当x?0时， F(x)??x??f(t)dt?0 当0?x?1时， F(x)??x??f(t)dt??x02tdt?x2 当x?1时， F(x)??x??f(t)dt?1 ?0, x?0 故 F(x)???x2, 0?x?1 ??1, x?1(3) P（-0.5 ?cf(x)???1?x2, x?1 ??0, 其它求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。 第17页，共48页 ） （解： (1) ???1-x2 c?1/? ???1xf(x)dx?? 1cdx?carcsinx|1?1?c??1 （2）当x??1时， F(x)????xf(t)dt?0 f(t)dt??x 当?1?x?1时， F(x)?? ?11???1?1?t2dt?1?xarcsint|?1 ?(arcsinx?x???2 ) 当x?1时， F(x)??f(t)dt?1 ?0, x??1?1?? 故 F(x)??(arcsinx? ), －1?x?1 2????1, x?1(3) P（-0.5 x??2?F(x)??A?Be, x?0 ? 其它?0, 2求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1 (1) lim F(x)?A?1 x??? F(x)?A?B?0解： lim?x?0 B??1 （2） ?xe?x/2, x?0? f(x)? F?(x)?? ??0, x?0(3) P（1 四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为 F(x)?A?Barctanx 求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1 第18页，共48页 (1) lim F(x)?A?x????2B?1 解： lim F(x)?A?x??? B?02 A?1/2, B?1/? ?（2） f(x)? F?(x)? 1 ?(1?x2)(3) P（0 1?arctan2 四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为 x?0?0, ?F(x)??Ax, 0?x?1 ?1, x?1?求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。 （2）解： (1) lim F(x)?A?1 x?1?1 , 0?x?1? A?1 f(x)? F?(x)??2x?0, 其他?(3) P（0 A? x?2?1?2, F(x)??x? x?2?0, 求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。 （2）、解： (1) lim F(x)?1?A/4?0 x?2?8 ?3, x?2? A?4 f(x)? F(x)??x??0, x?2(3) P（0 四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为 第19页，共48页 ?2x?, x?(0,a) f(x)???2?0, 其它?求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。 （2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 ??x??a2xx(1) ?f(x)dx?? 2dx?1 当x??时， F(x)???0?解：???f(t)dt?1 a?? ?0, x?0?2?x 故 F(x)??2, 0?x?? ????1, x??2tx2 当0?x??时， F(x)??f(t)dt??2dt?2 ??0??xx(3) P（-0.5 14?2 五（1）、设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为?,?(???)的指数分布。求系 统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z) ＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝因此，系统L的寿命Z的密度函数为 ??e0z??xdx??e??ydy＝(1?e??z)(1?e??z)。 0z??e??z??e??z?(???)e?(???)z, z?0dFZ(z)??f Z (z)＝ dz0, z?0?五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X 的密度函数。 解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝P(?y?X?2 2 2 y) ＝ ?y12??ye?x2/2dx?2?y12?0e?x2/2dx 第20页，共48页