第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题
一、选择题
1.(2010全国1文)在直三棱柱
，则异面直线A.
与
(侧面都是矩形的棱柱)中，若
，
所成的角等于( ). C.
D.
的性质，异面直线所成的角的求法. ，则
为平行四边形，
.
就是异面直线
B.
考查目的：考查直三棱柱
答案：C.
解析：延长CA到D，使得与
所成的角，又∵三角形
为等边三角形，∴
2.在空间中，下列命题正确的是( ). A.若∥
，∥，则∥
B.若∥
，∥
，
，
，则
∥
C.若∥，∥，则∥ D.若∥，，则∥ 考查目的：考查直线与平面、平面与平面平行的判定. 答案：D.
解析：若∥，∥，则∥或，故A错误；由平面与平面平行的判定定理知，B错误；若
∥
，∥
，则∥
或，
，故C错误.
表示两个不同的平面，则下列命题不正
3.设，，表示三条不同的直线，确的是( ).
A.
B.
C. D. 考查目的：考查直线与平面平行、垂直的转化. 答案：D.
解析：由∥，⊥可得，与的位置关系有：∥D不正确．
4.(2010宁夏海南)如图，正方体F，且
，则下列结论中错误的是( ).
，，与相交，∴
的棱长为1，线段上有两个动点E，
A. B.三棱锥的体积为定值 C. D.异面直线所成的角为定值
考查目的：考查空间直线、平面之间平行和垂直关系综合应用的能力. 答案：D.
解析：A正确，易证显然正确，∵ ，∴
长为
，从而；D错误.
；B正确，可用等积法求得；C
5.(2012重庆理)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，的棱异面，则的取值范围是( ).
和，且长为的棱与
A. B. C. D.
考查目的：考查空间直线与直线之间的位置关系，以及有关计算的能力. 答案：A.
解析：如图所示的四面体
，则
，
.
，设
为
中点，在
中，
6.如图，平面⊥平面，A∈，B∈过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为
，AB与两平面、，则
，所成的角分别为
( ).
和
，
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3
考查目的：考查直线与平面所成的角，以及二面角概念的综合运用. 答案：A. 解析：在平面
内，过
作
，
且
，连结
和
，因为平面
⊥平面，所以和即为和平面和平面所成的角，先解和求线段和的长，再解.
二、填空题
7.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.
考查目的：考查直线与直线、直线与平面垂直关系的判定. 答案：4.
解析：由直线与平面垂直关系可知，图中直角三角形共有4个.
8.(2007湖北理)平面和与
，给出下列四个命题： ①
⊥
外有两条直线⊥
⊥
和，如果；③
与
和在平面相交
内的射影分别是
⊥；②与相交或重合；④
平行与平行或重合.
其中不正确的命题是 .
考查目的：考查空间两条直线的位置关系. 答案：①②③④. 解析：①如图
⊥
，但
与不垂直；②
与
⊥
⊥
或
与
重合；③
与
平行
与平行或异面，所以四个命题
相交与相交或重合或异面；④均不正确.
9.(2010全国1文)在正方体中，与平面________.
考查目的：考查正方体的性质、直线与平面所成的角的求法.
答案：解析：∵DO⊥平面
. ∥
，∴
与平面
所成的角和，即
，
与平面
所成角为
，则与平面
， ，∴
所成的角相等.设所成角的余弦值为
，由等体积法得.设
，则，记
.
∴
10.(2009浙江理)如图，在长方形线段(端点除外)上一动点．现将内过点作，为垂足．设
中，，，为的中点，
沿折起，使平面平面．在平面，则的取值范围是 .
为
考查目的：考查直线与平面的位置关系，以及二面角概念的综合应用.
答案：. 解析：当F位于DC的中点时，∴∴
平面
，∴
，∴
；随着点F移动到与点C重合时，∵
，
，∴
.又∵
，，
，，
.对于
，因此的取值范围是
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（二）
三、解答题
11.(2012上海理改编)如图，在四棱锥的高，⑴四棱锥⑵异面直线
的中点，已知的体积； 与所成的角的大小. 是
，
中，底面
，
是矩形，，求：
是四棱锥
考查目的：考查异面直线所成角的概念及其求法. 答案：⑴
，⑵
.
解析：⑴根据题意四棱锥的体积.⑵取PB的中点F，连
接EF，AF，则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角△AEF中，
，∴
.在△AEF中，
，
，.
AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=
12.(2011湖南文)如图，在圆锥PO中，已知且
，D为AC的中点.
，∴异面直线BC与AE所成的角大小为
，⊙O的直径AB=2，点C在上，
⑴证明：AC平面POD；
⑵求直线OC和平面PAC所成角的正弦值. 考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，以及空间想象能力. 答案：⑴略，⑵
.
解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，底面⊙O，∴AC⊥OD.PO是平面POD内的两条相交直线，∴AC⊥平面POD.
⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，过O作OH⊥PD于点H，则OH⊥平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH
是直线OC和平面PAC所成的角.在中，；在
中，.
13.(2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点. ⑴证明：EF∥平面PAD； ⑵求三棱锥E—ABC的体积V.
考查目的：考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积计算.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.
⑵连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则BG⊥平面ABCD，且△PAB中，AD=AB，∴
，BP=2，∴
.
，
.∴
.在，
14.(2010四川理)已知正方体是对角线的中点.
⑴求证：OM为异面直线和
的棱长为1，点M是棱
的公垂线；
的中点，点O