第二章误差与测量不确定度
2.1 名词解释：真值、实际值、示值、误差、修正值。 答：真值是指表征某量在所处的条件下完善地确定的量值；实际值是指用高一级或高出数级的标准仪器或计量器具所测得的数值，也称为约定真值；示值是指仪器测得的指示值，即测量值；误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差；修正值是指与绝对误差大小相等，符号相反的量值。
2.2 测量误差有哪些表示方法？测量误差有哪些来源？
答：测量误差的表示方法有：绝对误差和相对误差两种；测量误差的来源主要有：（1）仪器误差（2）方法误差（3）理论误差（4）影响误差（5）人身误差。 2.3 误差按性质分为哪几种？各有何特点？
答：误差按性质可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。各自的特点为： 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化；
随机误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差：在一定条件下，测量值显著偏离其实际值。 2.4 何谓标准差、平均值标准差、标准差的估计值？
答：标准差是指对剩余误差平方后求和平均，然后再开方即??1n(xi?x)2； ?ni?1平均值标准差是任意一组n次测量样本标准差的n分之一，即s(x)?s(x)； n标准差的估计值即s(x)?1n(xi?x)2。 ?n?1i?12.5 归纳比较粗大误差的检验方法。
答：粗大误差的检验方法主要有莱特检验法，肖维纳检验法以及格拉布斯检验法。 莱特检验法：若一系列等精度测量结果中，第 i项测量值xi所对应的残差?i的绝对值
?i＞3s（x）则该误差为粗差，所对应的测量值xi为异常值，应剔除不用。
本检验方法简单，使用方便，也称3s准则。当测量次数n较大时，是比较好的方法。本方法是以正态分布为依据的，测值数据最好n>200，若n<10则容易产生误判。
肖维纳检验法：假设多次重复测量所得n个测量值中，当?i?k?(x)时，则认为是粗差。 本检验方法是建立在频率趋近于概率的前提下，一般也要在n＞10时使用。一般在工程中应用，判则不严，且不对应确定的概率。
格拉布斯检验法：对一系列重复测量中的最大或最小数据，用格氏检验法检验，若残差?max＞Gs。
本检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好。 2.6 绝对误差和相对误差的传递公式有何用处？ 答：绝对误差传递公式：?y?
?f?xj在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量?j?1?xjm
之间的关系主要为和差关系时，利用绝对误差传递公式更方便求解总系统误差的绝对误差； 相对误差传递公式：?y??lnf?xj在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之??xj?1jm间的关系主要为乘、除，开方以及平方关系时，利用相对误差传递公式更方便求解总系统误
差的相对误差。
2.7测量误差和不确定度有何不同？
答：测量误差是指测量值（或称测得值、测值）与真值之差，它以真值或约定真值为中心，误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；
不确定度是指与测量结果相联系的一种参数，用于表征被测量之值可能的分散性程度，即一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心。测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。
对比项目 误差 含义 符号 分类 表示符号 合成方式 主客观性 与真值的关系 反映测量结果偏离真值的程度 非正即负 随机误差、系统误差、粗大误差 符号较多、且无法规定 代数和或均方根 客观存在，不以人的认识程度改变 有关 不确定度 反映测量结果的分散程度 恒为正值 A类评定和B类评定 规定用u、uc、U、Up表示 均方根 与人们对被测量及测量过程的认识有关 无关 2.8 归纳不确定度的分类和确定方法？ 答：不确定度分为A类标准不确定度和B类标准不确定度。
由一系列观测数据的统计分析来评定的分量称为A类标准不确定度；不是用一系列观测数据的统计分析法，而是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定的分量称为B类标准不确定度。 确定方法：
（1）A类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度u的求法等同于由系列观测值获得的
?x； 标准差，即A类标准不确定度就等于标准差，即uA??（2）B类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差
并得到标准不确定度。
2.9 归纳测量数据处理的方法。
答：测量数据处理的方法主要有效数字、算术平均值加不确定度、表格或曲线等。
有效数字是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位存疑数为止的所有各位数字。
数据修约规则：四舍五入，等于五取偶数。
最末一位有效数字（存疑数）应与测量精度是同一量级的。
测量数据可绘制成曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。 2.10用图2.22中（a）、（b）两种电路测电阻Rx，若电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI，求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。
I I
Rx Rx V V
（a） （b）
图2.22 题2.10图 解：(a)Rx?'V(Rx//Rv)IRxRv ??IIRX?Rv'R2X ? R=Rx?Rx??
RX?RV rR=
?RRX1?10000???10000???100％
RVRXRX?RV1?RX 在Rv一定时被测电阻RX 越小，其相对误差越小,故当RX相对Rv很小时,选此方法测量。 (b)R'x?VI?(Rx?RI)??Rx?RI ?R?R'x?Rx?RI II rR?R?R?10000?I?10000 RXRX在RI一定时，被测电阻RX 越大.其相对误差越小,故当RX相对RI很大时,选此方法测量。
2.11 用一内阻为RI的万用表测量下图所示电路A、B两点间电压，设E＝12V，R1＝5kΩ ，R2＝20kΩ，求：
（1）如E、R1、R2都是标准的，不接万用表时A、B两点间的电压实际值UA为多大? （2）如果万用表内阻RI＝20kΩ，则电压UA的示值相对误差和实际相对误差各为多大？ （3）如果万用表内阻RI＝lMΩ，则电压UA的示值相对误差和实际相对误差各为多大？ R1 5KΩ
A RI E R2
12V 20KΩ V
B 解：（1）A、B两点间的电压实际值UA?E12R2?20k?9.6V
R1?R25k?20k（2）UA测量值为：UA? ?E12R2//RI?20k//20k
R1?R2//RI5k?20k//20k1210k?8.0V
5k?10k?U8.0?9.6所以UA的示值相对误差?x????20%
Ux8.0
UA的实际相对误差为?A?（3）UA测量值为：UA? ??U8.0?9.6???17% UA9.6E12R2//RI?20k//1M
R1?R2//RI5k?20k//1M1219.6k?9.56V
5k?19.6k?U9.56?9.6所以UA的示值相对误差?x????0.42%
Ux9.56?U9.56?9.6UA的实际相对误差为?A????0.42%
UA9.6由此可见，当电压表内阻越大，测量结果越准确。
2.12 CD—13型万用电桥测电感的部分技术指标如下：
5μH —1.1mH挡：±2％(读数值)±5μH；
10mH—110mH挡：±2％(读数值)±0.4％(满度值)。试求被测电感示值分别为10μH，800μH，20mH，100mH时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。并以所得绝对误差为例，讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。 解：根据误差公式计算各电感误差如下： （1）10μH
?L??2%?10?H?5?H??0.2?H?5?H??5.2?H
?L??L?5.2?H???52% L10?H（2）800μH
?L??2%?800?H?5?H??16?H?5?H??21?H
?L??L?21?H???2.6% L800?H
（3）20mH
?L??2%?20mH?0.5%?110mH??0.4mH?0.55mH??0.94mH?L?0.94mH?L????4.7%
L20mH（4）100mH
?L??2%?100mH?0.5%?110mH??2mH?0.55mH??2.55mH?L?2.55mH?L????2.6%
L100mH
由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差影
响大，而被测电感较大时仪器误差的相对部分对总误差影响大。这里对每个量程都有一个临界值：
5μH —1.1mH档：临界值L1，?2%?L1??5?H，L1?250?H 即当被测电感L小于250μH时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。
即当被测电感L大于250μH时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。 10mH—110mH档：临界值L2，?2%?L2??0.5%?110mH，L2?27.5mH
即当被测电感L小于27.5mH时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。 即当被测电感L大于27.5m H时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。
2.13 检定一只2.5 级电流表3mA量程的满度相对误差。现有下列几只标准电流表，问选用哪只最适合，为什么？
（1）0.5 级10mA量程； （2）0.2 级10mA量程； （3）0.2 级15mA量程； （4）0.1 级100mA量程。 解：2.5 级电流表3mA量程的绝对误差为2.5％×3mA＝0.075mA
（1）0.5 级10mA量程的绝对误差为0.5％×10mA＝0.05mA （2）0.2 级10mA量程的绝对误差为0.2％×10mA＝0.02mA （3）0.2 级15mA量程的绝对误差为0.2％×15mA＝0.03mA （4）0.1 级100mA量程的绝对误差为0.1％×100mA＝0.1mA 由以上结果可知（1），（2），（3）都可以用来作为标准表，而（4）的绝对误差太大， 其中（1），（2）量程相同，而（3）的量程比（1），（2）大，在绝对误差满足要求的情况下，应尽量选择量程接近被检定表量程，但（2），（3）准确度级别高，较贵，所以最适合用作标准表的是0.2 级10mA量程的。
2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为90μW，其允许误差为±30％，检定时用标准功率计去测量信号源的输出功率，正好为75μW。问此信号源是否合格? 解：信号源频率的测量绝对误差为75μW－90μW＝－15μW 相对误差为???15??16.7%?30%，所以此信号源合格。 902 3 4 5 6 7 8 9 10 2.15 对某直流稳压电源的输出电压Ux进行了10次测量，测量结果如下：
次 数 1 电压/V 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007 求输出电压Ux的算术平均值U及其标准偏差估值s(U)。 解：Ux的算术平均值
110U?5.000?0.001??(3?11?6?2?15?4?9?10?1?7)?5.0054?5.005
10i?1次数 电压/V 残差(103V) －1 -2.4 2 5.6 3 0.6 4 -7.4 5 9.6 6 -9.4 7 3.6 8 4.6 9 -6.4 10 1.6 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007 标准偏差估值s(U)?110(Ui?U)2 ?9i?1110?[(?2.4)2?5.62?0.62?(?7.4)2?9.62?(?9.4)2?3.62?4.62?(?6.4)2?1.62]?(10?3)2?9i?1
?110[5.76?31.36?0.36?57.76?92.16?88.36?12.96?21.16?40.96?2.56]?(10?3)2?9i?1