三 角 形 的“四 心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。?ABC的重心一般用字母O表示。 性 质：
1.外心到三顶点等距，即OA?OB?OC。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD?BC,OE?AC,OF?AB.
111?BOC,?B??AOC,?C??AOB。 222二、三角形的内心
3.?A?定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。?ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性 质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝
1?三角形的周长?内切圆的半径． 23.AE?AF,BF?BD,CD?CE；
AE?BF?CD?三角形的周长的一半。
4.?BIC?90??111?A,?CIA?90???B，?AIB?90???C。 222三、三角形的垂心
定 义：三角形三条高的交点叫垂心。?ABC的垂心一般用字母H表示。 性 质：
1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AH?BC,BH?AC,CH?AB。 2.△ABH的垂心为C，△BHC的 垂心为A，△ACH的垂心为B。
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四、三角形的“重心”：
定 义：三角形三条中线的交点叫重心。?ABC的重心一般用字母G表示。 性 质：
1.顶点与重心G的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 即GA?2GD,GB?2GE,GC?2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即xG?xA?xB?xCy?yB?yC,yG?A.
334.向量性质：（1）GA?GB?GC?0； （2）PG?5.S?BGC?S?CGA1(PA?PB?PC)，31?S?AGB?S?ABC。
3五、三角形“四心”的向量形式：
结论1：若点O为?ABC所在的平面内一点，满足OA?OB?OB?OC?OC?OA， 则点O为?ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OA?BC?OB?CA?OC?AB， 则点O为?ABC的垂心。
结论3：若点G满足GA?GB?GC?0，则点G为?ABC的重心。 结论4：若点G为?ABC所在的平面内一点，满足OG? 则点G为?ABC的重心。
结论5：若点I为?ABC所在的平面内一点，并且满足a?IA?b?IB?c?IC?0 （其中a,b,c为三角形的三边），则点I为△ABC的内心。 结论6：若点O为?ABC所在的平面内一点，满足
2222221(OA?OB?OC)， 3(OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC，则点O为?ABC的外心。
结论7：设???0,???，则向量AP??(
AB|AB||AC|?AC)，则动点P的轨迹过?ABC的内心。
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