概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.见教材习题参考答案.
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C
（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A
BC (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.
.
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
11113++?= 4431241
7.
52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？
5332【解】 p=C13C13C13C13/C1352
8.
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=
15 1=（）（亦可用独立性求解，下同） 5775
6565
（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为6，故P（A2）=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日} P（A3）=1?P(A1)=1?(
15
) 79..见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n n?mn【解】（1） P（A）=CmMCN?M/CN n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 mn?m品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，mn?mCmnPMPN?M故 P（A）= nPNn?mCmMCN?M由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 P（A）= CnN可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)m 2 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为 M，则取得N?M??M?m件正品的概率为 P(A)?Cmn???1??NN????mn?m 11..见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太 弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} P(A)?C10C3/C50?13. 1331 19607个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. 1C2C18P(A2)?433?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 P(A214. A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率；（2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215. A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 11131C4()()5212131224?2 ?【解】（1） p1?C5()() (2) p2?222325/32516.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 P(3i?0212AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6) 17 222233=0.32076 5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 3 41111C5C2CC2C2213【解】 p?1? ?4C102118. 0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}. （1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A19. B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA)?20. 5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 P(AB)? ?21. P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520? 0.5?0.05?0.5?0.0025219∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 题21图 题22图 4 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30. 3021? 如图阴影部分所示. P?602422. 0，1）中随机地取两个数，求： 6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率. 4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0 144617（1） x+y<. p1?1?255??0.68 5125(2) xy=< 1?1?111. p2?1???1dx?1dy???ln2 44x?4?4223. P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BAB)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.51? 0.7?0.6?0.54 ?24. 15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比 赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新 球} 由全概率公式，有 P(B)??P(BA)P(A) iii?03 2321C3C3C1C8C9C6C3C3C3699C679?3?3?3?3?3?3?3?36C15C15C15C15C15C15C15C15?0.089 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学 生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P 5