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第一章 集合与函数概念测试卷
1.已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和N?{xx?2k?1,k?1,2,所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
}的关系的韦恩（Venn）图如图1
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个
1,3?，有2个，选B. 1.解.由M?{x?2?x?1?2}得?1?x?3，则M?N??
2.若集合A?x|2x?1|?3,B??x???2x?1??0?,则A∩B是 ?3?x??1?1??1? （A） ??x?1?x??或2?x?3? (B) x2?x?3（C） ?x??x?2? (D) ?x?1?x??? 22??2??????2.解.集合A?{x|?1?x?2},B?{x|x??或x?3}，∴A
3.已知全集U?A121B?{x|?1?x??}选D
2(UB)中有n个元素．若AIB非空，则AIB的元素个数为 B中有m个元素，(痧UA)A．mn B．m?n C．n?m D．m?n
3解.因为A
4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是 A. 在t1时刻，甲车在乙车前面 B. t1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t0时刻，两车的位置相同 D. t0时刻后，乙车在甲车前面
B?痧(?B共有m?n个元素,故选D U[(UA)UB)]，所以A
4.解.由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，选A.
5.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有
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xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B.
5215 C. 1 D. 221?x1f(x)，取x??，则有： x25.解.若x≠0，则有f(x?1)?1112f(?1)??f(?1)??f(1)（∵f(x)是偶函数，则f(?1)?f(1) ） f()?f(??1)?12222222?21?由此得f()?0.于是
1253f()?f(?1)?221?311?2f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[2]f(1)?5f(1)?0 323232312222答案.A
2
6.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x+x-6=0},则P∩Q等于( ) A.{1,2,3} B.{2,3} C.{1,2} D.{2}
6解：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q={-3,2},则P∩Q＝{2}. 答案：D 7.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则A.? B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}
7.解：直接观察（或画出Venn图）得S∪T={1,3,5,6}，则答案：B
22
8．若P={x|y=x},Q={(x,y)|y=x,x∈R}，则必有( )
A.P∩Q=? B.PQ C.P=Q D.PQ
2
8.解：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x的定义域，
2
则集合P是数集，集合Q是函数y=x的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=?. 答案：A
点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.
2
9．设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( ) A.M=P B.PM C.MP D.M∩P=R
9.解.：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM..答案：B
10．定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x?A∩B},则(A*B)*A等于( ) A.A∩B B.A∪B C.A D.B
10.解.：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案：D
点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.
(S∪T)＝{2,4,7,8}.
(S∪T)等于( )
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11．函数f(x)=x-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=
2
f(x)在区间（1，+∞）上一定( ) xA.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
2
11.解.：函数f(x)=x-2ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝
f(x)a=x??2，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性. xx设1 aa-2)-(x2+-2) x1x2=(x1-x2)+( xx?aaaa?)=(x1-x2)(1?)=(x1-x2)12. x1x2x1x2x1x2∵1 又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1) ∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D 12.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 12.解. 设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10?(15?x)?x?5， 故15?x?5?30?8?x?12. 注：最好作出韦恩图！ 13. 函数f(x)对任意正实数x,y。都满足：f(xy)?f(x)?f(y)且f(2)?1,则f(1)的值是 ______________. 6413解.由f(1?1)?f(1)?f(1),得f(1)?0,f(4)?f(2)?f(2)?2,f(8)?f(2)?f(4)?3 f(64)?f(8)?f(8)?6,0?f(1)?f(64?111)?f(64)?f(),所以f()??6 646464 2 14．集合A={x|x-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B?A，则实数m＝________. 14.分析：集合B是关于x的方程mx-1=0的解集，∵B?A，∴B=?或B≠?. 当B=?时，关于x的方程mx-1=0无解，则m=0； 112?312 当B≠?时，x=∈A，则有()m-4=0，即4m+3m-1=0.解得m=-1,. mm41答案：-1,0, 41黑色陷阱：本题任意忽视B=?的情况，导致出现错误m=-1,.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集 4是任何集合的子集. 15．求函数y= 3x的最大值和最小值. 2x?415.分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值. 解：（判别式法）由y= 3x2 得yx-3x+4y=0， 2x?42 ∵x∈R，∴ 关于x的方程yx-3x+4y=0必有实数根. 优秀学习资料 欢迎下载 当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值； 2 当y≠0时，则关于x的方程yx-3x+4y=0是一元二次方程, 22 则有Δ=(-3)-4×4y≥0. 933.∴?≤y<0或0 443x33∴ 函数y=2的最小值是?，最大值是. 44x?4∴0 2 ax2?bx?c2 点评：形如函数y=2(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是 dx?cx?f①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0 22 时，关于x的方程mx+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式 2 ?n2?4mk?0,组?此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值. ?m?0. 16．已知集合A={x|??x?2?0}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围. ?5?x?0?x?2?0,的解集是关键，又A∩B=B说明了B?A，包含=?和B≠?两种情况， ?5?x?016.分析：理解集合A是不等式组?故要分类讨论解决问题. 解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B，∴B?A.∴B=?或B≠?. 当B=?时，p+1>2p-1，解得p<2. ?p?1?2p?1,?当B≠?时，则有?p?1??2,解得2≤p≤3. ?2p?1?5.?综上所得实数p的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］. 17.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x. （1）求f（x）； （2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值. 17.分析：（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（x）；（2）结合二次函数的图象，写出最值. 2 解：（1）设f（x）＝ax＋bx＋c， 由f（0）＝1，可知c＝1. 22 而f（x＋1）-f（x）＝［a（x＋1）＋b（x＋1）＋c］-（ax＋bx＋c）＝2ax＋a＋b. 由f（x＋1）-f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝-1. 2 故f（x）＝x-x＋1. （2）∵f(x)=x-x+1=(x-2 123)+， 2413)=，f（x）的最大值是f（-1）＝3. 24BI，则下列各式中错误的是（ ） ∴当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值是f( 18、设A、B、I均为非空集合，且满足A优秀学习资料 欢迎下载 A．(eIA)∪B = I B．(eIA)∪(eIB) =I C．A∩(eIB) =? D．(eIA)∩(eIB) =eIB 18、解、本题主要考查子集及运算.答案：B 如图 19、 已知集合A = {x| –2＜x＜–1或x＞0}，B = {x| a≤x≤b}，满足A∩B = {x | 0＜x≤2}，A∪B = {x| x＞– 2}. 求a、b的值. 19、解、将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图所示，由A∩B = {x | 0＜x≤2}知b =2且–1≤a≤0； 由A∪B = {x | x＞– 2}，知–2＜a≤–1， 综上所知，a = –1，b =2. 2 20、 集合P = {x | x + x – 6 = 0}， ≠ Q = {x | mx– 1 = 0}，且QP，求实数m的取值集合. 20、解、P = {2，– 3}，Q①当Q = Q 时，m = 0； ②当Q = {2}时，2m – 1= 0，即m =； 1③当Q = {– 3}时，–3m –1 = 0，即m =?. 311综上知，m的取值的集合为{0，，?}. 2312 ≠ P，∴Q =?，Q = {2}或Q = {– 3}. 21、求下列函数的定义域：（1）y =x?1+1?x；（2）y =21、解、（1）由?5?x. |x|?3?x?1?0，得x = 1，∴函数的定义域为{1}. 1?x?0?（2）由题意知，有不等式组