作业1
1．什么是白噪声？白噪声有何特点？
答：白噪声是均值为0，自相关函数为冲击响应的随机过程。 白噪声的功率谱为常数。
2. 一个离散时间的随机信号由两个正弦波信号叠加而成，即x(t)=Asin(?1t)+ Bcos(?2t)，?i=2?fi，i=1，2，其中幅值A和B为独立的高斯随机变量，具有以下概率密度
fA(a)?222211e?a/(2?1)，fB(a)?e?b/(2?2) 2??12??2求离散时间信号x(t)为严格平稳随机信号的条件。
解：由于x(t)为两个正弦信号的线性叠加，因此x(t)也是正弦信号。又因为
E{x(t)}=E{Asin(?1t)}+ E{Bcos(?2t)}=0
2D{x(t)}=D{Asin(?1t)}+ D{Bcos(?2t)}=?12sin2(?1t)+?2cos2(?2t) 所以，x(t)的概率密度函数可以表示为
f(x,t)?12?[?sin(?1t)??cos(?2t)]2212222e22?x2/2[?1sin2(?1t)??2cos2(?2t)]
若?1=?2=?，?1=?2，则D{x(t)}=?
此时的x(t)的概率密度函数可以表示为
f(x,t)?221e?x/2? 2??因此f(x,t)将与t无关，因此x(t)为严格平稳的条件为?1=?2，?1=?2
作业2
1. 在一个3发射4接收的MIMO无线通信系统中，系统在白噪声的环境下采用训练序列估计信道h00，h10和h20，其中hij表示用户i的数据发射到天线j时经过的单径信道，训练序列的块长为16，请用最小二乘估计方法估计这三个信道。 解：信道H0=[h00, h10, h20]T,
第0个用户的发射数据为X0=[x0,0, x0,1, …x0,15]T 第1个用户的发射数据为X1=[x1,0, x1,1, …x1,15]T 第2个用户的发射数据为X2=[x2,0, x2,1, …x2,15]T 则我们在第0个天线处接收到的数据为 Y0=XH0+N
其中X=[X0, X1, X2], N为白噪声向量 因此最后的H0的最小二乘估计表达式为 ?=X?Y H00
作业3
1．若一条件概率密度函数为高斯分布，则采用该分布函数所获得的绝对损失型、二次型和
均匀型Bayes估计的结果之间有何关系？为什么？ 答：估计结果相等。
绝对损失型、二次型和均匀型的Bayes估计结果分别是概率密度函数的中值，均值和极值，因此，当条件概率密度函数为高斯分布，这三个值重合。
2. 在一个被动RFID系统中，阅读器采用动态帧时隙Aloha协议识别标签，若阅读器在一个时隙数为L的的帧内观察到c0个空时隙、c1个可读时隙和c?个冲突时隙，请用Bayes的绝对型，二次型和均匀型代价函数估计这个帧内的标签数n。
解：一个信息帧的时隙数为L, 若阅读的标签数为n, 那么帧中的每个时隙内有r个标签应答的概率为[11, 12, 15-17, 19]
?n??1?pr???r???L?????r?1??1???L?n?r,r?0,1,...
由式(1)可得, 发生空时隙, 可读时隙和冲突时隙的概率分别为
?1?p0??1??
?L?n?1?p1??1??L?L?nn?1n
n?1?1?n?1?p??1??1????1???L?L?L?
由式(2)我们可以得到, 在一个长为L的信息帧内发生了c0个空时隙, c1个成功时隙, c?个冲突时隙下有n个标签的条件概率为[19]
p(n|c)?二次型：代价函数表示为[25]
L!p0c0p1c1p?c?
c0!c1!c?!~,n)?(n~?n)2 J(n相应的贝叶斯估计为
N???np(n|c)?nn?1?np(n|c)n?1NN
?p(n|c)n?1绝对型：代价函数表示为[25]
~,n)?n~?n J(n相应的贝叶斯估计为
N?n???argminnp(n|c)?p(n|c)?? ?~???n~n?n?n?1?~均匀型代价函数取为
~?n??/2?1 n?~,n)? J(n?~??0 n?n??/2其中, ?为很小的常数. 相应的贝叶斯估计为
~|c) ??argmaxnp(n~n??
作业4
1．有时在采用非参数化谱估计的直接法计算功率谱时，为何不用Fourier变换而是用短时Fourier变换对信号作变换？在采用非参数化谱估计的间接法中，使用了Wienier-Khinchine定理来计算功率谱，在使用该定理时，信号必须满足什么条件？
答：因为非参数化估计的前提是，该随机过程为平稳过程，而Fourier变换只能针对平稳过程，而短时Fourier变换可以对非平稳过程进行处理。
使用Wienier-Khinchine定理时，信号必须满足平稳随机过程的特性，而且该随机过程的均值应为0.
2. 假定一平稳分布的离散随机过程有N个数据样本x(0), x(1),… x(N?1)，且均值E?x(t)?=0，请用非参数化谱估计的直接法和间接法估计该随机过程的功率谱。 解：1）直接法
定义信号x(n)的周期图为：s(?)?根据功率谱的定义：
21x(1)e?jw?x(2)e?j2w???x(N)e?jwN NSx(?)?limE[N??21X(ejw)] N如果信号是各态历经的，则：
11jw2Sx(?)?limE[X(e)]?limN??N??NN?x(n)en?0N?12?jwn
在实际中，信号的观察值是有限的，记为x(0),x(1),…，x(N-1),用这些观察序列对功率谱
Sx(w)进行估计，有：
?(?)?1X(ejw)2?1SxNNN2）间接法
?x(n)en?02N?12?jwn
?(k)?1RxN?(?)?Sx
M?x(n?k)x(n)?n?0N?1
k??M??(k)e?jkw Rx作业5
1．请列出梯度算法（也称最陡下降法）的统一表达形式。当梯度算法的代价函数J(n)为什么时，梯度梯度算法变化为LMS算法？ 答：W(k?1)?W(k)???J(k)，其中k为迭代次数，W为滤波器系数向量，?为步长，
?W(k)J(k)为代价函数
?(k)为通过Lms滤波器的信号 ?(k)|2，其中y(k)为真实信号，yJ(k)?|y(k)?y
A：B：2. 已知有下列两类模式：X1=(0, 0, 0)T, X2=(1, 0, 0)T, X3=(1, 0, 1)T, X4=(1, 1, 0)T；
X5=(0, 0, 1)T, X6=(0, 1, 1)T, X7=(0, 1, 0)T, X8=(1, 1, 1)T。请用梯度算法求解判决函数：（1）选择代价函数J(W,X)，并给出相应的梯度算法表达式；(2) 选择合适的迭代步长?，计算出最后的权向量W；（3） 给出该梯度算法的伪代码。
TT? 对于A类?|WX|?WX，解：（1）J(W,X)?? TT 对于B类??|WX|?WX，因此A类：
? WT(n)Xi?k?0?W(n)，W(n?1)?? T W(n)Xi?k?0??W(n)?uXi，因此B类：
? WT(n)Xi?k?0?W(n)，W(n?1)?? T W(n)Xi?k?0??W(n)?uXi，其中n为迭代次数，W为判决函数的系数向量，?为步长，k为任意系数
（2）取?=0.5，k=1, 则经计算W=[1, -1.5, -1.5]
T所以最后的判决函数为dd(X)?WX?k。 （3）
for n=1:100; for i=1:4
if W(:,n).'*X(:,i)+k<=0
W(:,n)=W(:,n)+u*X(:,i); end end
for i=5:8
if W(:,n).'*X(:,i)+k>=0 W(:,n)=W(:,n)-u*X(:,i); end end
W(:,n+1)=W(:,n); end
作业6.
1．若一随机过程可以表示为ARMA过程，其必要条件是输入激励为什么信号？ ARMA模型与AR和MA模型有何关系？LMS滤波器与方程误差（EEA）滤波器分别是以上的什么模型？
答：必要条件为输入激励应为高斯白噪声。
当ARMA模型的AR系数为0时，该模型为MA模型，当MA系数为0时，该模型为AR模型。——3分
LMS为MA模型，EEA为ARMA模型。
作业7
1. 已知一滤波器的递归差分方程形式如下：
N?1n?1M?1m?0y(t)??an(t)y(t?n)??bm(t)x(t?m)
?(t)为构造滤波器的输出信号。?(t)|2，其中y若定义代价函数J(t)?|y(t)?y（1）计算梯度
向量?J(t)；（2）给出相应梯度算法表达式；（3）列出该梯度算法步骤。
2解：1) 令e(t)?d(t)?y(t)，则J(t)?e(t)，因此?J(t)可以表示为
N?1?e2(t)?y(t)?y(t?n)?2e(t)?2e(t)[y(t?n)??an(t)],n?1,...N?1
?an(t)?an(t)?an(t)n?1M?1?e2(t)?y(t)?y(t?m)?2e(t)?2e(t)[x(t?m)??am(t)],m?0,...M?1
?bm(t)?bm(t)?bm(t)m?12）相应的梯度算法可表示为
N?1?y(t?n)?a(t)?a(t?1)??e(t)[y(t?n)?a(t)]?nn?n?an(t)n?1? ?M?1?b(t)?b(t?1)??e(t)[x(t?m)?a(t)?y(t?m)]?mmm??bm(t)m?1?令
?(t)?[a1(t),...aN(t),b0(t),...bm(t)]T
Y'(t)?[y'(t),...y'(t?N),x'(t),...x'(t?M?1)]T
则式最后的梯度算法可表示为
?(t)??(t?1)??e(t)Y'(t)
3）算法步骤： 步骤1 初始化?(t)??(t?1)??e(t)Y'(t)； 步骤 2 更新：t=1, 2, ….
e(t)?d(t)??T(t)Y?(t)
?(t)??(t?1)??e(t)Y'(t)
作业7.
在一盲均衡仿真实验中，信道h(n)用L=6个抽头，信号源采用PAM调制方式，选用的值分别为：?0.7, ?0.5, ?0.3, ?0.1，均衡器w(n)也选用6个抽头，第三个点的初始值设为1，其余的设为0。采用盲均衡Sato算法，在一定信噪比下对算法迭代数千次，画出ISI的变化曲线图，其中ISI由下式计算：
L?1ISI?(?0|s(k)|2?|s(nmax)|2)/|s(nmax)|2，s(n)?h(n)*w(n)，
若用编程实现以上算法，请给出实现该程序的主要步骤。 解：
1 产生发射源信号x(n)——2分
1）随机产生7000个0—7均匀分布的随机整数信号 2）将这些随机信号调制为PAM方式 2 产生接收信号u(n)——5分
1）将产生发射源信号与信道进行卷积运算 2）再将卷积运算后的信号加上高斯白噪声 3. 对Sato算法的参数进行设定——7分 1）首先计算?值，由下式确定
n???[p2(n)]
?n[p(n)]其中，p(n)为PAM调制方式中取得各个值 2）确定步长值
3）确定均衡器初值W(0)=[0, 0, 1, 0, 0, 0]T 4. Sato算法——10分
对以下步骤不断进行迭代
1）x?(n)=WT(n)U(n)，其中U(n)=[u(n), u(n?1), …u(n?5)] 2）计算误差信号e(n)=x?(n)-g[x?(n)], 其中 g[x?(n)]??sign(x?I(n))?j??sign(x?Q(n)) 3）W(n?1)?W(n)??e(n)U?(n) 4）计算ISI，其中ISI由题中给出
5. 画出ISI关于迭代次数的曲线——1分