计 算 方 法
实验指导
姓名______________ 学号______________ 院系______________ 专业______________
哈尔滨工业大学
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计算方法实验指导
根据实际问题建立的数学模型，一般不能求出所谓的解析解，必须针对数学模型的特点确定适当的计算方法，编制出计算机能够执行的计算程序，输入计算机，进行调试，完成运算，如果计算结果存在问题或不知是否正确，还需要重新确定新的计算方法，再编制出计算程序，输入计算机，重新调试，完成运算，直至获得正确的计算结果，这就是数值计算的全部过程。
学生在学习“计算方法”和“高级语言”等课程时普遍存在的问题是：只会套用教科书中的标准程序进行数值计算，很少有人能够独立地将学过的数值算法编制成计算机程序，至于灵活应用已经掌握的算法求解综合性较大的课题，则更是困难的事情。
编写《计算方法实验指导》的目的是：突出数值计算程序结构化的思想。提高学生的编程能力，加深对“计算方法”课程内容的理解和掌握，为”计算方法“课程的教学服务，进一步奠定从事数值计算工作的基础。具体地
1.根据“计算方法”课程内容的特点，给出五个典型算法的分析流程，学生可以利用所掌握的“高级语言”顺利地编制出计算机程序，上机实习，完成实验环节的教学要求。
2.所有的计算实习题目都经过任课教师逐一检验，准确无误。
3.充分利用循环的思想、迭代的思想，给出算法结构描述和程序语言的对应关系，有利于学生编制相应的程序。
4.结合实习题目，提出实验要求，要求学生按规范格式写出相应的实验报告，实验报告成绩记入期末总成绩。需要提醒学生：不能简单地套用现成的标准程序完成实验题目，应当把重点放在对算法的理解、程序的优化设计、上机调试和计算结果分析上，否则就失去实验课的目的啦。
5. 五个具体的实验题目是：
实验题目1拉格朗日(Lagrange)插值 实验题目2龙贝格(Romberg)积分法
实验题目3四阶龙格—库塔(Runge—Kutta)方法 实验题目4牛顿(Newton)迭代法
实验题目5高斯(Gauss)列主元消去法
要求必须完成其中三个（如果全部完成更好）。
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实验题目1 拉格朗日(Lagrange)插值
方法概要：
给定平面上n?1个不同的数据点(xk,f(xk))，k?0,1,?,n，xi?xj，i?j；则满足条件
Pn(xk)?f(xk)，k?0,1,?,n
的n次拉格朗日插值多项式
Pn(x)??k?0f(xk)lk(x)
是存在唯一的。若xk?[a,b],k?0,1,?,n，且函数f(x)充分光滑，则当x?[a,b]时，有误差估计式
nf(n?1)(?)f(x)?Pn(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，??[a,b]
(n?1)!拉格朗日插值算法实验
实验目的：利用拉格朗日插值多项式Pn(x)求f(x)的近似值 输 入：n?1个数据点(xk,f(xk))，k?0,1,?,n；插值点x 输 出：f(x)在插值点x的近似值Pn(x) 程序流程：
1 置y?0.0；k?0
2 当k?n时，做2.1—2.4 2.1 置l?1.0；
2.2 对j?0,1,?,k?1,k?1,?,n，置l?l?(x?xj)/(xk?xj) 2.3 置y?y?l?f(xk) 2.4 置k?k?1 3 输出x,y 4 停机
问题1 拉格朗日插值多项式的次数n越大越好吗？
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考虑下面两个拉格朗日插值问题：
1，x?[?5,5]，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，21?x10.0即将区间[?5,5]进行n等分，记h?，xk??5.0?k?h，k?0,1,?,n，构造
n（1）设f(x)?Pn(x)，利用拉格朗日插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似值。分别取n?5，n?10，
n?20，同时计算Pn(x)在x?0.75，x?1.75，x?2.75，x?3.75，x?4.75处
的函数值。
（2）设f(x)?e，x?[?1,1]，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，即将区间[?1,1]进行n等分，记h?x2.0，xk??1.0?k?h，k?0,1,?,n，构造Pn(x)，n利用拉格朗日插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似值。分别取n?5，n?10，n?20，同时计算Pn(x)在x??0.95，x??0.05，x?0.05，x?0.95处的函数值。
问题2 插值区间越小越好吗？
考虑下面两个拉格朗日插值问题：
1，x?[?1,1]，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，21?x2.0k?0,1,?,n，即将区间[?1,1]进行n等分，记h?，构造Pn(x)，xk??1.0?k?h，
n（1）设f(x)?利用拉格朗日插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似值。分别取n?5，n?10，n?20，同时计算Pn(x)在x??0.95，x??0.05，x?0.05，x?0.95处的函数值。
（2）设f(x)?e，x?[?5,5]，考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，即将区间[?5,5]进行n等分，记h?x2.0，xk??1.0?k?h，k?0,1,?,n，构造Pn(x)，n利用拉格朗日插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似值。分别取n?5，n?10，n?20，同时计算Pn(x)在x??4.75，x??0.25，x?0.25，x?4.75处的函数值。
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问题3 在区间[?1,1]考虑拉格朗日插值问题，为了使得插值误差较小，应如何选取插值节点？
考虑下面两个拉格朗日插值问题：
（1）设f(x)?记xk?cos1x?[?1,1]，，考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，
1?x2(2k?1)?，k?0,1,?,n，构造Pn(x)，利用拉格朗日插值多项式Pn(x)作
2(n?1)为f(x)的近似值。分别取n?5，n?10，n?20，同时计算Pn(x)在x??0.95，
x??0.05，x?0.05，x?0.95处的函数值。
（2）设f(x)?e，x?[?1,1]，考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式Pn(x)，记xk?cosx(2k?1)?，k?0,1,?,n，构造Pn(x)，利用拉格朗日插值多项式Pn(x)作
2(n?1)为f(x)的近似值。分别取n?5，n?10，n?20，同时计算Pn(x)在x??0.95，
x??0.05，x?0.05，x?0.95处的函数值。
问题4 考虑拉格朗日插值问题，内插比外推更可靠吗？
考虑下面两个拉格朗日插值问题：
（1）设f(x)?x，关于以x0?1，x1?4，x2?9为节点的拉格朗日插值多项
式P2(x)，利用拉格朗日插值多项式P2(x)作为f(x)的近似值。同时计算P2(x)在
x?5，x?50，x?115，x?185处的函数值。
（2）设f(x)?x，关于以x0?36，x1?49，x2?64为节点的拉格朗日插值
多项式P2(x)，利用拉格朗日插值多项式P2(x)作为f(x)的近似值。同时计算P2(x)在
x?5，x?50，x?115，x?185处的函数值。
（3）设f(x)?x，关于以x0?100，x1?121，x2?144为节点的拉格朗日插
值多项式P2(x)，利用拉格朗日插值多项式P2(x)作为f(x)的近似值。同时计算P2(x)
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