杨浦区2019学年度高三学科模拟测试
数学试卷（理科）
（本试卷满分150分 考试时间120分钟） 2019.4
学生注意：
1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1x?11. 不等式?1的解集是___________.
xx?42．若函数y?f(x)与y?ex?1的图像关于直线y?x对称，则f(x)? . 3．经过抛物线y?4x的焦点，且以d?(1,1)为方向向量的直线的方程是 . 4. 计算：
2limn???2Cn? . 2?4?6?????2n5. 在二项式(x?1x)8的展开式中，含x5的项的系数是 （用数字作答）.
6. 若数列{an}为等差数列，且a1?3a8?a15?120，则2a9?a10的值等于 . 7. 已知直线m?平面?，直线n在平面?内，给出下列四个命题：①?//??m?n；
②????m//n；③m?n??//?；④m//n????，其中真命题的序号是 . 8. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数?的数学期望是 ． 9. 极坐标方程4?sin2?2?5所表示曲线的直角坐标方程是 .
10．在△ABC中，已知最长边AB?32，BC?3，?A=30?，则?C= .
11.已知函数f(x)?lg(x?1)，若a?b且f(a)?f(b)，则a?b的取值范围是 . 12.在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=3，AD=2；线段 PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，且PA =2，则异面直线PC与BD所成的角等于 （用反三角函数表示）.
D A P
S3
O S2 DA
S1 BCB C （12题）（13题） CDCBA
13．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、
S2、S3，则
S1?S3的取值范围是 . S214. 已知函数f(x)满足：①对任意x?(0,??)，恒有f(2x)?2f(x)成立；②当x?(1,2]时，f(x)?2?x.
)，则满足条件的最小的正实数a是 . 若f(a)?f(2020
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
开 始 11115．如图给出的是计算1???????的值的一个程序框图，
352011其中判断框内应填入的条件是……………………（ ） （A）i?2011；（B）i?2011； （C）i?1005；（D）i?1005.
i=1, s=0 否 是 输出S 结 束 ?(3?a)x?a16. 已知f(x)???logax(x?1)(x?1)是(??,??)上的增函数，
那么a的取值范围是 ……………………………( ) (A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [
s=s+ 3，3）． 21ii=i+2 （15题）
17．在正方体ABCD?A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点
P 所在的曲线的形状为…………( )
A1 P A (A)
B
A (B)
B1
A1 P B
A (C)
B1
A1 P B
A (D)
B1
A1 P B
B1
18．已知有穷数列A：a1,a2,???,an（n?2,n?N）.定义如下操作过程T：从A中任取两项ai,aj,将
ai?aj1?aiaj的值添在A的最后，然后删除ai,aj,这样得到一系列n?1项的新数列A1 (约定:一个数也视
作数列)；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列n?2项的新数列A2，如此经过k次操作
5311,,,,则A3的可能结果是……………………………（ ） 7423311（A）0； （B）； （C）； （D）.
432后得到的新数列记作Ak . 设A：?
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
如图，用半径为102cm，面积为1002?cm的扇形铁皮 2
制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最 多盛水多少？（结果精确到0.1 cm）
3
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知向量a?(sinx,cosx), b?(sinx,sinx)， c?(?1,0). （1）若x?
?3
，求向量a、c的夹角?；
（2）若x???1?3???,?，函数f(x)??a?b的最大值为，求实数?的值.
2?84?
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知圆C:(x?1)2?y2?8.
（1）设点Q(x,y)是圆C上一点，求x?y的取值范围； （2）如图，定点A(1,0),M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0,求点N的轨迹的内接矩形的最大面积.
22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
MAN C O A x yxP m100?0(m为实常数，m?0且m?1，t为实数）. 设虚数z满足z?mz?42t（1） 求z的值；
（2） 当t?N，求所有虚数z的实部和；
（3） 设虚数z对应的向量为OA（O为坐标原点），OA?(c,d)，如c?d?0，求t的取值范围.
?23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设二次函数f(x)?(k?4)x?kx足an?1?f(an).
（1）求函数f(x)的解析式和值域；
（2）试写出一个区间(a,b)，使得当a1?(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增数列，
并说明理由； （3）已知a1?2(k?R)，对任意实数x，有f(x)?6x?2恒成立；数列{an}满
1?，是否存在非零整数?，使得对任意n?N，都有 3???????1??1??1?n?1n?121(?21)?log?nlog3??log3??????log3?????1???2n?1????32 恒成立，若存在， 3log111??a1???a2???an??2??2??2?
求之；若不存在，说明理由.