高二数学同步测试（12）—圆锥曲线综合
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．椭圆
A．
xa5422?yb22?1 (a>b>0)离心率为
5232,则双曲线
xa22?yb22?1的离心率为
D．
54（ ）
B． C．
23
2．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为
（ ）
A．x?8y B．x??8y
22C．x?16y
2D．x??16y
23.（2010广东文数）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.
45 B.
35 C.
225 D.
15
4.（2010山东文数）已知抛物线y?2px(p?0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
（A）x?1 (B)x??1 (C)x?2 (D)x??2 5．椭圆
x212?y23?1的焦点为
F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|
（ ）
的 A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
9.（2010湖南文数）设抛物线y2?8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7．曲线??x?2cos??y?sin?（?为参数）上的点到原点的最大距离为
C．2
22 D．
3（ ）
0A． 1 B．2
8.（2010全国卷1）已知F1、F2为双曲线C:x?y?1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60，则P到x轴的距离为 (A)
32 (B)
y262 (C) 3 (D) 6
9．过双曲线x－
2
2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A, B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有
C．3条 D．4条
A （ ）
A．1条 B．2条
?2px(p?0)BC?2BFy 10．如图，过抛物线y2，且
x32的焦点F的直线l交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若92O AF?3，则此抛物线的方程为 （ ） ?3x A．y2
? B．y2 C．y2?x D．y2?9x
C F B x 1
二、填空题（本大题共5小题）
11．椭圆的焦点是F1（－3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则
椭圆的方程为_____________________________． 12.（2010福建文数）若双曲线
y2x24-
yb22=1(b>0)的渐近线方程式为y=?12x，则ｂ等于 。
13．设点P是双曲线x2?3?1上一点，焦点
F（2，0），点A（3，2），使|PA|+1|PF|有最小值时，
2则点P的坐标是________________________________．
14．AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值
为 . 15.（2010天津文数）已知双曲线
2xa22?yb22?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程是y?3x，它的一
个焦点与抛物线y?16x的焦点相同。则双曲线的方程为 。
三、解答题（本大题共6小题，共76分） 16．P为椭圆
x225?y29?1上一点，F1、F2为左右焦点，若?F1PF2?60?
（1） 求△F1PF2的面积； （2） 求P点的坐标．（12分）
17．已知抛物线y2?4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ
的中点，求点M的轨迹方程．（12分）
2
18．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0,2) 为圆
心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y?x对称． （1）求双曲线C的方程；
（2）设直线y?mx?1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（－2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．（12分）
219．如图，过抛物线y?2px(p?0)上一定点P（x0,y0）（y0?0），作两条直线分别交抛物线
于A（x1,y1），B（x2,y2）． （1）求该抛物线上纵坐标为
p2的点到其焦点F的距离；
y1?y2y0（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求常数.（12分）
3
的值，并证明直线AB的斜率是非零
y P O x A B 20．如图，给出定点A(a, 0) (a>0)和直线: x = –1 . B是直线l上的动点，?BOA的角平分线交AB
于点C. 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.（14分） l y
B C
A O x
21．椭圆C1：
xa22?yb22=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B.点P双曲线C2：
xa22?yb22=1在第一象
限内的图象上一点，直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点.若△ACD与△PCD的面积相等． （1）求P点的坐标；
（2）能否使直线CD过椭圆C1的右焦点，若能，求出此时双曲线C2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）
4
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．
x236?y227?1 12．0?m2?n2?3, 2 13．(213,2) 14．
52
三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）
[解析]：∵a＝5，b＝3?c＝4 （1）设|PF1|?t1，|PF2222|?t2，则t1?t2?10 ①
t1?t2?2t1t2?cos60??8 ②，由①2－②得t1t2?12
?S?F1PF2?12t1t2?sin60??12?12?32?33
334（2）设P(x,y)，由S?FPF?1?2c?|y|?4?|y|得 4|y|?33?|y|?3312?y??24，将y,?334??334 代
入椭圆方程解得x??5134，?P(51333,)44或P(5134,?334)或P(?52134,334)或P(?5134)
16．（12分）[解析]：设M（x,y），P（x1,y1），Q（x2,y2），易求y∵M是FQ的中点，∴ x?1?x22y2?4x的焦点F的坐标为（1，0）
x2?y2?x12y12?x2?2x?1y2?2y，又Q是OP的中点∴ ?x1?2x2?4x?2y1?2y2?4y，
y?22 ∵P在抛物线y2?4x上，∴(4y)1?4(4x?2)，所以M点的轨迹方程为y2?x?.
217．（12分）
2[解析]：（1）当a?1时，y?x,表示焦点为(,0)的抛物线；（2）当0?a?1时，(x?1?a)1a24(a1?a?ya222，表示
?1)21?a焦点在x轴上的椭圆；（3）当a>1时，
(x?a1?aa2()1?a)2?aya222?1，表示焦点在x轴上的双曲线. （1设双曲线C的
?1渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆x2?(y?x．故设双曲线C的方程为
xa222)2?1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±
?ya22?1．
又双曲线C的一个焦点为(2,0)，∴2a2?2，a2?1．∴双曲线C的方程为:x2?y2?1. （2）由?y?mx?1?22?x?y?1得(1?m2)x2?2mx?2?0．令f(x)?(1?m2)x2?2mx?2
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在(??,0)上有两个不等实根． 因此????0??0且?0?221?m?1?m2m?2，解得1?m?2．又AB中点为(m1?m2,11?m2)，
5
∴直线l的方程为：y?1?2m2?m?2(x?2)． 令x=0，得b?2?2m2??2(m?214)2．
?178?m?2∵m?(1,2)，∴?2(m?1)2?17?(?2?482,1)，∴b?(??,?2?2)?(2,??)．
y
18．（12分）[解析]：（I）当y? 又抛物线y2p2时，x?p8p28
P O x ?2px的准线方程为x?? 由抛物线定义得，所求距离为p?(?p)?5p
82A B （2）设直线PA的斜率为k22PA，直线PB的斜率为kPB
y1?y0x1?x0 由y1?2px1，y0?2px0
相减得(y1?y0)(y1?y0)?2p(x1?x0),故k 同理可得kPB? 即
2py1?y0??2py2?y0PA??2py1?y0(x1?x0)
??k(x2?x0),由PA，PB倾斜角互补知kPAPB,所以y, 故y1?y2??2 ?y??2y120y02py2?y0AB 设直线AB的斜率为k 所以k kAB?AB,由y22p2?2px2，y12?2px1,相减得(y2?y1)(y2?y1)?2p(x2?x1)
?y2?y1x2?x1?y1?y2(x1?x2), 将y1?y2??2y0(y0?0)代入得
2py1?y2??py0，所以kAB是非零常数.
19．（14分）[解析]：设B（－1，b），lOA：y=0, lOB:y=－bx,设C（x,y），则有0?x
C到OA，OB距离相等，?y2y?y?bx1?b2①及C在直线AB:
y??2b1?a?x?a?②上，由①②及x?a得，得
2?(1?a)x2?2ax?(1?a)y2??0 若y=0,则b=0 满足(1?a)x,y022x0?2ax?(1?a)y?0.
20．（14分）[解析]：（1）设P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，又有点A(－a,0),B(a,0). ?S?ACD?S?PCD,
?C为AP的中点,?C(x0a22x0?a22).将C点坐标代入椭圆方程,得(x0?a)a22?y0b22?4，
3b).
2又
?y0bK22?1 ?(x0?a)a?2?a?3ba2?5，?x0?2a(x0??a舍去),?y0?3ba(x?a)代入
xa223b，?P(2a,2（2）?PD?Ky0x0?aPB,直线PD:y??yb22?1?2x?3ax?a?0
?xD?a2?a2a2(xD?a舍去)，?C(2x0?a2?b2,y0272),即C(a2,32b)∴CD垂直于x轴.若CD过椭圆C1的右焦点，则
?b,?b?32a,?e?a2a?.故可使
CD过椭圆C1的右焦点，此时C2的离心率为7.
2
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