海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2012．11
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．e?1
10．a?b?c
11．[2,]
1 B 2 C 3 B 4 D 5 C 6 A 7 D 8 B 5212．1
π 13．
3 14．10；
{t|t?11或t?,n?N*且n?2}n?1 ln2ln()n三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）设{an}的公差为d，
依题意，有 a2?a1?d??5,S5?5a1?10d??20 ………………2分
?a1?d??5联立得?
5a?10d??20?1?a1??6解得? ………………5分
d?1?所以an??6?(n?1)?1?n?7 ………………7分 （II）因为an?n?7，所以Sn?a1?ann(n?13)n? ………………9分 22 数学参考答案第1页，共7页
令
n(n?13)?n?7，即n2?15n?14?0 ………………11分 2解得n?1或n?14 又n?N*，所以n?14
所以n的最小值为15 ………………13分
16.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?2cos2x?cos(2x?π2) ?2cos2x?sin2x ?1?cos2x?sin2x
?2sin(2x?π4)?1 所以f(π8)?2sin(ππ4?4)?1?2?1 （Ⅱ）因为f(x)?2sin(2x?π4)?1
所以T?2π2?π 又y?sinx的单调递减区间为
（2kπ?π2,2kπ?3π2） ，(k?Z)所以令2kπ?π2?2x?π4?2kπ?3π2 解得kπ?π5π8?x?kπ?8 所以函数f(x)的单调减区间为(kπ+π5π8,kπ?8) ，(k?Z)
17．（本小题满分13分）
解：（I）在?ABC中，因为A?B?C?π 所以tanC?tan[π?(A?B)]??tan(A?B) 因为tan(A?B)?7，所以tanC??7 数学参考答案第2页，共7页
………………2分
………………4分
………………6分
………………7分………………9分 ………………10分 ………………11分
………………12分 ………………13分 ………………1分
………………3分 ………………4分
sinC?tanC???7?cosC 又? 22??sinC?cosC?1解得|sinC|?72 ………………5分 10因为C?(0,π),
所以sinC?7210 （II）因为A?π1?4，所以tan(A?B)?tanB1?tanB?7 解得tanB?34 因为C?(0,π), 所以sinB?35 由正弦定理
bsinB?csinC，代入得到c?7 所以S1?ABC?2bcsinA ?12?32?7?sinπ214?2
18.（本小题满分13分）
解：（I）作PQ?AF于Q，所以PQ?8?y,EQ?x?4在?EDF中，EQPQ?EFFD 所以
x?448?y?2 所以y??12x?10，定义域为{x|4?x?8} (II) 设矩形BNPM的面积为S，则
数学参考答案第3页，共7页
………………6分 ………………8分 ………………9分 ………………11分 13分
………………2分
………………4分 ………………6分 ………………
x1S(x)?xy?x(10?)??(x?10)2?50 ………………9分
22 所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x?10
所以当x?(4,8)，S(x)单调递增 ………………11分 所以当x?8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米 ………………13分
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 f?(x)?x2?(2a?1)x?(a2?a)
?(x?a)[x?(a?1)]
令f?(x)?0，得x1?(a?1)，x2?a 所以f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
………………2分
x f'(x) f(x) (??,a) a 0 极大值 (a,a?1) a?1 0 极小值 (a?1,??) ? ? ? ………………4分 所以a?1 ………………5分
（II）因为f?(x)?(x?2a?121)? ………………6分 24
因为?m?R，直线y?kx?m都不是曲线y?f(x)的切线
2a?121)??k对x?R成立 ………………7分 24只要f?(x)的最小值大于k 所以f?(x)?(x?1所以 k?? ………………8分
4 (III) 因为a??1,所以a?1?0,
当a?1时，f?(x)?0对x?[0,1]成立
数学参考答案第4页，共7页
12所以当x?1时，f(x)取得最大值f(1)?a? ………………9分
6当0?a?1时， 在x?(0,a)时，f?(x)?0，f(x)单调递增
在x?(a,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减
1312所以当x?a时，f(x)取得最大值f(a)?a?a ………………10分
32当a?0时， 在x?(0,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减
所以当x?0时，f(x)取得最大值f(0)?0 ………………11分 当?1?a?0时，在x?(0,a?1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减 在x?(a?1,1)时，f?(x)?0，f(x)单调递增
2又f(0)?0,f(1)?a?1， 6当?1?a??当?162时，f(x)在x?1取得最大值f(1)?a?
666?a?0时，f(x)在x?0取得最大值f(0)?0 66时，f(x)在x?0，x?1处都取得最大值0. ………………14分 6当a??综上所述， 当a?1或?1?a??162时，f(x)取得最大值f(1)?a?
661312当0?a?1时，f(x)取得最大值f(a)?a?a
32当a??当?6时，f(x)在x?0，x?1处都取得最大值0 66?a?0时，f(x)在x?0取得最大值f(0)?0. 620.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)因为 3?1?1， 所以{1,3,4} 不具有性质P.
因为 2=1?2, 3=1+2, 6=3?3，所以{1,2,3,6}具有性质P ………………4分 (Ⅱ)因为集合A={a1,a2,???,an}具有性质P：
即对任意的k(2?k?n), ?i, j(1?i?j?n)，使得ak=ai+aj成立， 又因为1?a1
数学参考答案第5页，共7页