初三数学一对二辅导第五周
一．填空题（共9小题）
1．（2015?鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．
，在BE上截取BG=2，
2．（2015?昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4
以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为 ． 3．（2015?开县模拟）如图，在正方形ABCD的边BA的延长线上作等腰直角△AEF，连接DF，延长BE交DF于G．若FG=6，EG=2，则线段AG的长为 ．
4．（2015?黄冈中学自主招生）如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=交⊙O于点D．则CD的最大值为 ．
，连接OC，CD⊥OC
5．（2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是 ．
6．（2015?牡丹江二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为 ．
7．（2015?铜陵县模拟）如图，在圆O中，点A在圆内，B，C在圆上，其中OA=7，BC=18，∠A=∠B=60°，则OB= ．
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8．（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN= cm．
二．解答题（共15小题）
9．（2015?辽宁二模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是直线AC上一点，连接BD，作AE⊥BD，垂足为E，连接EC． （1）如图1，D在AC延长线上，AC＞CD，求证：EA﹣EB=接写出你探究的结论．
EC；
（2）当D在AC上（图2）或D在CA延长线上（图3）时，EA、EB、EC三条线段的数量关系如何？直
10．（2015?新宾县模拟）数学活动课上，老师提出了一个问题：已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一动点（点E不与点A，C重合），F在BC边的延长线上，连接BE、EF，使CF=AE，如图1，若E是AC边的中点时，试猜想线段BE与EF的数量关系．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题，写出结论并证明
（2）提出问题：一小组受此问题的启发，提出问题，如图2，若点E是线段AC上的任意一点，其他条件不变，则线段BE、EF之间有什么数量关系？请解决该小组提出的问题，并给出证明
（3）问题拓展：老师要求其他小组向一小组同学学习，仿照前两种情况提出问题，二小组提出问题：如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变，则线段BE、EF之间有什么数量关系？任务：请回答二小组所提出的问题，不必证明
11．（2015?河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
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（1）求证：△CDP≌△POB； （2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形．
12．（2015春?安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
13．（2015?周村区一模）如图，∠AOB=90°，C、D是OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．
14．（2014?萝岗区一模）如图，在半径为（1）当BC=4时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
15．（2014秋?吴中区期中）如图1，已知⊙O的弦MN所对的弧是120°，圆心O到MN所在的直线的距离是4．
（1）求弦MN的长； （2）如图2，若点M是
的中点，弦AB与MN交于D，请直
的扇形AOB中，∠AOB=120°，点C
是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
的三等分点，AB分别交
接写出：∠ADN= 度．
16．（2014秋?宝应县校级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为半圆ACB上的动点（不与A、B两点重合），过点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交圆于点P，则点P的位置有何规律？请证明你的结论．
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17．（2014秋?秦淮区期中）阅读以下内容，并回答问题：
若一个三角形的两边平方和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形． （1）命题“等边三角形一定是奇异三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（点C与点A、B不重合），D是半圆D在直径AB的两侧，若存在点E，使AE=AD，CB=CE．求证：△ACE是奇异三角形．
18．（2014秋?博罗县校级期中）如图所示，在⊙O中弦BD=CE，求证：AB=AC．
19．（2014秋?亭湖区校级月考）已知：如图，点O是∠EPF的平分线的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D．试探究∠OBA与∠OCD的关系，并说明理由．
20．（2013?桃源县校级自主招生）如图，OA=OB=OC且∠ACB=30°，求∠AOB.
21．（2009?陕西）问题探究
（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？
（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？
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的中点，C、
问题解决
（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？
22．（2012?泰兴市一模）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 ．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． （3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=求BC的长．
，
23．（2013?东城区一模）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
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第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）； 第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值分别为多少？
24．（2015?随州）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． 【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD． 【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：
=1.41，
﹣1）米，现要=1.73）
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