2005全国数学奥林匹克决赛试题(B)
1．计算：＝________。
2．计算：________。
＝
3．乘积125×127×129×131×133×?×163×165的末三位数是________。 4．对于正整数a与b，规定
a*b=a×（a＋1）×（a＋2）×?×(a＋b－1)。 如果(x*3)*2＝3660，那么x＝________。
5．如图，已知AADE，ACDE和正方形ABCD的面积之比为2∶3∶8，而且△BDE的面积是5平方厘米，那么四边形ABCE的面积是________平方厘米。
6．已知九位数2005□□□□□是2008的倍数，这样的九位数共有________个。 7．二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地从1开始连续报数。如果报2和报200的是同一个人，那么共有________个小朋友。
8．有两筐苹果，要分给三个班，甲班得到全部苹果的，乙班和丙班分得苹果数量之比为7∶5。已知第二筐苹果是第一筐苹果的
，如果从第一筐中拿出20
千克苹果放入第二筐，则两筐苹果的重量相等。那么甲班比乙班多分得苹果________千克。
9．有一个棱长是12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。穿孔后木块的体积是________立方厘米。
10．如果能被11整除，那么n的最小值是________。
11．少年跳水大奖赛的裁判由若干人组成，每名裁判给分最高不超过10分。第一名选手跳水后得分情况是：全体裁判所给分数的平均分是9.68分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判所给的分数的平均分是9.62分；如果只去掉一个最低分，则其余的分数的平均分是9.71分。那么所有裁判所给分数中最少可以是________分，此时共有裁判________名。
12．甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，在A，B之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，那么A，B之间的距离是________米。
2005全国数学奥林匹克决赛试题(B)答案
1、1 2、8000000 3、125 4、3 5、65 6、50 7、22 8、38 9、1280 10、7 11、9.53；6 12、375
1．【解】 原式＝(
＝
＝1－＝1
2．【解】原式＝(200.5×20.05×2005－3×20.05×2005×0.5)＋3×200.5×0.25－0.125
＝20.05×2005×199＋200.5×0.75－0.125 ＝8000000
3．【解】当A除以8的余数为1，2，3，?，7，0时，(125×A)的末三位数依次为
125，250，375，500，625，750，875，000。
A＝(127×129×131×133×?×163×165)中共有20个乘数．从左至右每4个一组的乘积除以8的余数都是l，所以A除以8的余数是1。所求的末三位数，即(125×A)的末三位数是125。
4．【解】设x*3＝a。则
a*2＝a(a＋1)＝3660＝60×61。 所以a＝60。
x*3＝x(x＋1)(x＋2)＝60＝3×4×5， 所以x=3。
5．【解】过点E向AD的延长线作垂线，交于点F。BD的延长线与FE的延长线交于点G(见下图)。
∵，，
∴ ，，
∴ ∵
＝GE×AF÷2
，
＝GE×（AD＋DF）÷2
＝AD×（AD＋AD）÷2
＝
＝
＝GE×DF÷2
＝ AD×AD÷2
＝∴
，
＝
＝∴
＝5，
＝5×8＝40（平方厘米）。
∴ ＝65（平方厘米）。
6．【解】200500000÷2008=99850??1200， 200599999÷2008—99900??799
2008的99850～99900倍的前四位数都是2005，所以满足题意的九位数共有50个。