第四章 微分方程
4.1 方程分类与解法
4.1.1 一阶，可分离变量方程
? 一阶变量分离方程
dydydy?f(x)g(y)??f(x)dx???f(x)dx?C dxg(y)g(y)?? 齐次方程
令
dyy?f() dxxu?xdu?f(u) dxydydu?u，y?xu，?u?x xdxdx4.1.2 一阶线性非齐次方程
齐次方程
dy?p(x)y?0 dx
?p(x)dx(c??ec1) 通解 y?ce? 标准形
dy?p(x)y?q(x) dx通解
?p(x)dx??p(x)dxdx? y?e?c?q(x)e?????伯努利方程 令z?y1?ndydy?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1)?y?n?P(x)y1?n?Q(x) dxdx得
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) dx4.1.3 特殊二阶方程 降阶法
? 微分方程y(n)?f(x)接连积分n次，便得到微分方程y(n)?f(x)的含有n个任意
常数的通解。 ? ?
y???f(x,y?) y???f(y,y?)
令y??p(x) 则y???p?(x)?p??f(x,p)
令y??p(y) 则y???p?p(n)p?p?f(y,p)
? 首次积分方法若F(x,y,y?,?,y)?d?(x,y,y?,?,y(n?1))则称 dx?(x,y,y?,?,y(n?1))?c为方程F(x,y,y?,?,y(n))?0的首次积分。这样就把原方程
降了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。 4.1.4 二阶（高阶）线性常系数方程
1．线性方程解的结构理论
定理1（叠加原理） 设y1(x),y2(x),?,yn(x)是齐次方程的解，则它们的线性组合
c1y1(x)?c2y2(x)???cnyn(x)??cjyj(x)也是齐次方程的解，其中c1,c2,?,cn是任意
j?1n常数。
定理2 设y(x)是非齐次方程的一个解， y1(x),y2(x),?yn(x)是对应的齐次方程的
~ 1
解，则
?cy(x)?y(x)也是非齐次方程的解，其中c,c,?,c是任意常数。
jjn~12nj?1定理3 （二阶齐次线性微分方程通解的结构） 设y1(x)和y2(x)(a?x?b)是方程
y???a1(x)y??a2(x)y?0
（3）
的两个线性无关特解，则y?c1y1(x)?c2y2(x) （c1,c2是任意常数）是方程（3）的通解。
对于二阶非齐次线性微分方程
y???a1(x)y??a2(x)y?f(x)
（4）
有如下的定理。
定理4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构） 设y*(x)是方程（4）的一个特解，y1(x)和y2(x)(a?x?b)是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则
y?c1y1(x)?c2y2(x)?y*(x)
是方程（4）的通解。
2．齐次方程 y(n)?a1y(n?1)???any?0?特征方程
(5)
?n?a1?n?1???an?0
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程y???py??qy?0的通解的步骤如下： 第一步 写出微分方程的特征方程r?pr?q?0 第二步 求出特征方程的两个根?1,?2。
第三步 根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解 特征方程r2?pr?q?0的两个根?1,?2 两个不相等的实根?1,?2 两个相等的实根?1??2 一对共轭复根?1,2???i? 微分方程y???py??qy?0的通解 2y?C1e?1x?C2e?2x y?(C1?C2x)e?1x y?e?x(C1cos?x?C2sin?x) 对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线性微分方程的解如下：
特征方程的根 单实根? 微分方程通解中的对应项 给出一项Ce ?x 2
一对单复根?1,2???i? k重实根? k重复根?1,2???i? 给出两项e?x(C1cos?x?C2sin?x) 给出k给出k项：e?x(C1?C2x???Ckxk?1)项 给出2k项：e?x[(C1?C2x???Ckxk?1)cos?x ＋ (D1?D2x???Dkxk?1)sin?x] 3．非齐次方程 y???py??qy?f(x)
其通解是y?y1?y* 其中y1是对应齐次方程的解，y*是非齐次方程的解。
f(x)?e?xPm(x)
特解
y*(x)?xke?xQm(x) k是特征根?的重复次数，
f(x)?e?x[Al(x)cos?x?Bn(x)sin?x] 特解y*?xke?x[Pm(x)cos?x?Qm(x)sin?x]
l,n} k是特征根??i?的重复次数。m?max{4．欧拉方程 xny(n)?a1xn?1y(n?1)???any?f(x)
t令x?e 或 t?lnx，则
dydydt1dyd2y1?d2ydy?d3y1?d3yd2ydy???????，2?2?，? ???3?2233?32???dxdtdxxdtdxx?dtdt?dxx?dtdtdt?d，则上述结果可简记为 dt2若引入微分算子符号D?d2ydy?(D2?D)y?D(D?1)y xy??Dy，xy???2?dtdtd3yd2ydyxy????3?32?2?(D3?3D2?2D)y?D(D?1)(D?2)y
dtdtdt3?
一般地 xyk(k)?D(D?1)?(D?k?1)y
4.2 解法选例
4.2.1 基本题目类
?dyy2cosx??例1 ?dx(1?sinx)2
?y|?1?x?0解 首先观察此类方程：一阶，可分离变量
dycosxdx??y2?(1?sinx)2?c
?11???c，代入初值c?0 y1?sinx3
故y?1?sinx
例2 xy??2y?3x
解 首先观察此类方程：一阶，线性非齐次方程
2y??y?3
x例3
2p(x)?,q(x)?3
x22dx?C?xdx??x??y?e3edx?C?x?。 2???x???
dydudydu?(x?y)2 令u?x?y，?1??1?u2 ，则dxdxdxdxdu?1?u2??dx， arctanu?x?c x?y?tan(x?c)
例4
dy1 ?2dx2x?y 解
dx?2x?y2 dyx??2x?y2
??2dy?12112??2dy2yx?e?dy?c???ye??ce?y?y?
224??
2xy?dy??22例5 ?dxx?y
?y|?1?x?1解 观察：一阶，齐次方程 令
ydydu?u,y?ux?u?x 代入方程消去y 得 xdxdx
du2uu?x?
dx1?u21?u2dxdu?整理 u?u3x1?u21积分?du??xdx?lnc1
u(1?u2)lnu?lnc1x 21?uu?c1x 21?u2u?1?1?du?????uu2?1??xdx?lnc1
将u?yxy?cx 代入得
xx2?y2代入初值 y(1)?1c?122 整理x?y?2y。 2 例6
?yy???(y?)2??y?(0)?1 ?y(0)?1?y???p?p
代入方程
4
解 （1）令y??p(y)
yp?p?p2
积分
yp??p 或 p?0（y?c舍不符合初值）
lnp?lncy p?cy 即
dy?cy 代初值c?1 dxdpdy??p?y?lnc
dyx lny?x?c?dx?cy?ce1?y?代初值
y?ex
??y??y?dyc?1?解 （2） ? 代初值，?0?c??dx?clny?x?c ??y?yy??
y?c1ex
代初值
y?ex
例7 填空
a 方程 y???y??2x通解为 （y??2x?c1cosx?c2sinx） b 方程 y???2y??2y?ex的通解为 c 方程 y???4y?e的通解为
?x2x（y?ex(c1cosx?c2sinx?1）） （y?c1e?2x
?c2e2x?12xxe） 4?xd 方程 y???2y??y?e的通解为 4.2.2 综合题目类
（y?(x?c1x?c2)e122
例8 设f(x)于[0,??)上可导，f(0)?0，且其反函数为g(x)，若求f(x)。
?f(x)0g(t)dt?x2ex，
解 对x求导 g(f(x))f?(x)?2xe?xe，即 xf?(x)?2xe?xe，故
x2xx2xf?(x)?2ex?xex
f(x)?(x?1)ex?c1，即f(x)?(x?1)ex?1。
1xf(t)dt?0
1?x?0例9 f(x)于[0,??)上可导。 f(0)?1 且满足f?(x)?f(x)?（1）求f?(x)（2）证明当x?0时
xe?x?f(x)?1。
0解 (x?1)f?(x)?(x?1)f(x)??f(t)dt?0
求导 f?(x)?(x?1)f??(x)?f(x)?(x?1)f?(x)?f(x)?0
则 (x?1)f??(x)?(x?2)f?(x)?0 (x?1)df???(x?2)f?(x) dxdf?x?2???f??x?1dx?c1
ln|f?|??x?ln|x?1|?c1
5