复数
一、复习引入： 数系扩充的脉络： 2．数集的表示方法：自然数集__________整数集_________
有理数集__________实数集________
二、概念形成： 1．规定： 2．设a,b都是______ ,形如_____________ 的数叫做复数。
表示方法：________________，其中实部是________虚部是________虚数单位是________ 注意：1）______________2）____________
3．_________________叫虚数；______________叫纯虚数 _________________叫复数集，用_____表示，R C
?实数________ 4．复数z?? ?虚数________???纯虚数________?非纯虚数______ 5．复数相等：
如果_____________ ______我们说这两个复数相等，记作：_________________ 三、知识应用： 例1 实数x取何值时，复数z?(x?2)?(x?3)i （1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
练习3 实数x取何值时，复数z?(x2?x?2)?(x2?3x?2)i （1）是实数（2）是虚数（3）是纯虚数？
例2 求适合下列方程的x和y(x,y?R)的值
（1）(x?2y)?i?6x?(x?y)i； （2）(x?y?1)?(x?y?2)i?0
1
复数的几何意义
一、复习引人： 1．实数可以用数轴上的点来表示。 实数 一一对应 数轴上的点
(数) (形) 2．复数的代数形式？z?a?bi其中实部 ，虚部 ； 虚数 ，纯虚数 3．两个复数相等的定义 二、知识的形成：
复数z?a?bi一一对应 有序数对?a,b? 一一对应 点Z?a,b?
1．复平面的定义： 在复平面内， 叫实轴； 叫虚轴。 x轴的单位是 ；y轴的单位是 2．复数的几何意义 （1）复数的点的表示
y
有序数对?a,b?
0
x 复数z?a?bi 一一对应 复平面内的点Z?a,b?
（2） 复数的向量表示
y
平面向量OZ
复数z?a?bi 一一对应 复平面内的点Z?a,b? 3．复数的绝对值(复数的模)
(1) 复数模的定义：对应平面向量OZ的长度|OZ|，即复数z?a?bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离，称为复数的模。
（2）计算公式：|a?bi|= （3）几何意义： 4. 共轭复数：
（1）共轭复数的定义：两个复数的实部 虚部 则称这两个复数互为共轭复数； （2）z的共轭复数表示为
（3）共轭复数的性质：两个共轭复数的模 ；表示两个共轭复数的点关于 对称。 三、知识的深化
220
x 1.已知复数z=(m?m?6)+(m?m?2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 ?m2?m?6?0解：由?2
?m?m?2?0??3?m?2得??m??2或m?1?m?(?3,?2)?(1,2)2
表示复数的点所在象限的问题 转化 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题
（几何问题） （代数问题） 2. 求z1?3?4i，z2?1?3i的模和它们的共轭复数。
复数的加减法 二、概念形成：
1．设z1?a?bi，z2?c?di，a,b,c,d?R，规定z1?z2? 显然，两个复数的和仍然是 。
且容易验证：对于任意复数z1，z2，z3，有 z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 即：复数的加法运算满足交换律、结合律。
2．复数的相反数：由复数加法的定义有，复数a?bi的相反数为 。 3．根据复数加法及相反数的定义，两个复数的减法法则如下： z1?z2?(a?bi)?(c?di)? 显然，两个复数的差仍然是 。 4．复数加减法运算法则：
(a?bi)?(c?di)? .
即:两个复数相加(减)，就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。 三、应用举例：
例1 已知z1?3?2i，z2?1?4i，计算z1+z2，z1-z2。
练习：1. (4?3i)?(5?7i) 2. (?5?i)?(3?2i) 3. (3?2i)?(?3?2i) 4 .0?(5?4i) 5. (3?(4?2i) 6. (3?5i?7i) 例2 计算(2?5i)?(3?7i)?(5?4i)
练习： 1. (4?5i)?(3?2i) 2. (?3?2i)?(4?5i) 3. (6?3i)?(?3i?2i)
4. 5?(3?2i) 5. (?3?2i)?(5?i)?(4?7i) 6. (1?i)?(1?i)?(5?4i)?(?3?7i)
3
复数的乘除
一、复习回顾
问题1:我们已经学习过复数的加减法,如何进行？类似于实数集的何种运算？ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 类 “合并同类项”
问题2: 那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
二、概念形成
1．设z1?a?bi,z2?c?di,a,b,c,d?R,定义z1z2= 2．两个复数的乘积仍为
3．由定义出发，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施： z1z2= = = 4．复数乘法运算满足：（1）交换律：
（2）结合律： （3）对加法的分配律： 三、概念应用
例1 已知z1?2?i,z2?3?4i，计算z1?z2 练习1：计算
（1）(3?2i)(7?i) （2）(1?i)(1?i) （3）(4?8i)i （4）?i(11?2i) （5）(3?4i)3 （6）[(3?2i)i]2 练习2：在下列各题中，分别求zz和z2
（1）z?3?4i （2）z??3?4i （3）z?5?12i （4）z??5?12i 例3 计算(1?2i)2
复数的四则运算
一、复习引入：（5分钟）
4
1. 复数的加、减、乘运算：已知两个复数z1?a?bi,z2?c?di
z1?z2? ；z1?z2?
运算满足
2. i2= i3= i4= in是以 为周期的。 3. 共轭复数的性质：若z?a?bi则z=
（1）|z|?|z|； （2）z1?z2? ；z1?z2? （3）zz? ；特别地当|z|?1时，zz? 二、概念的形成： 1. 定义复数的倒数：已知复数z?a?bi，如果存在一个复数，使
则z?叫做z的倒数，记作： 。 设：
1z?x?yi?x?R,y?R?则z?1z?(x?yi)?a?bi? 两边同乘（a?bi）得： 整理得： 因此：
1z?x?yi= = 显然：
1z?z|z|2 2. 复数的除法法则： (a?bi)??c?di??a?bic?di= = 实质：
3. 复数的商：把满足?c?di?(x?yi)??a?bi? 的复数 x?yi 叫做复数z?a?bi 除以复数
c?di的商。
三、知识的应用：
例1 计算?1?2i???3?4i?
练习：（1）
2?i7?4i （2）2?i4?i （3）2i11?i （4）2i
5