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第1讲 数列的概念与简单表示法
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
246
1．(2014·深圳中学模拟)数列0，3，5，7，…的一个通项公式为 n－1A．an＝(n∈N*)
n＋12?n－1?
C．an＝(n∈N*)
2n－1
n－1
B．an＝(n∈N*)
2n＋12n
D．an＝(n∈N*)
2n＋1
( )．
0
解析 将0写成1，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C. 答案 C
n1
2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a＝
n＋15
5
A.6 1C.30
6B.5 D．30
( )．
n－1n11
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n＝，∴a＝5×(5＋1)＝
n＋1n?n＋1?530. 答案 D
3．(2014·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝ ( )． A．－10 C．10
B．6 D．14
解析 a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 C
4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是 A．2n－1 B.??
n＋1??n?n－1
? C．n2
D．n
解析 法一 (构造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
∴an＋1?ann＋1＝an?n，∴数列??n??
是常数列． 且ana1n＝1＝1，∴an＝n.
法二 (累乘法)：n≥2时，anan＝n
1，an－1an＝n－1. －1n－－2n－2…
a33a2＝2a2＝2，a11，
两边分别相乘得ana1
＝n，又因为a1＝1，∴an＝n.
答案 D
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝ A．2
n－1
B.??3?2??n－1? C.??2??n－1?
D.1
3?2n－1 解析 ∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)， 即an＋13
an
＝2(n≥2)，
又a1＝12＝，∴an?3?2×??2?n－22?(n≥2)．
当n＝1时，a＝1≠1?3?1
12×??2?－1?＝3，
?1，n＝1，∴a?
n＝??1?
?2?3??2?n－2
?
，n≥2，
∴S1n＝2an?3?n－1?3?＋1＝2×2×?2?＝?2?n－1????
.
( )．
( )．
答案 B 二、填空题
6．(2013·蚌埠模拟)数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
解析 易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大． 答案 10或11
7．(2014·广州模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋3a3＋…＋3的通项公式为________．
n
解析 ∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝3，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋n－111
3n－2an－1＝3，两式左右两边分别相减得3n－1an＝3，∴an＝3n(n≥2)．由题11
意知，a1＝3，符合上式，∴an＝3n(n∈N*)． 1
答案 an＝3n 8．(2013·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．
2
n－1
n
an＝3，则数列{an}
解析 每行的第二个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…， an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式两边同时相加得 ?2n－3＋3?×?n－2?2
an－a2＝＝n－2n，
2
所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－2×9＋3＝66. 答案 66 三、解答题
9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项． (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．
10．在数列{an}中，a1＝1，Sn为其前n项和，且an＋1＝2Sn＋n2－n＋1. (1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Tn； (2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)∵an＋1＝2Sn＋n2－n＋1， ∴an＝2Sn－1＋(n－1)2－(n－1)＋1(n≥2)， 两式相减得，an＋1－an＝2an＋2n－2(n≥2)． 由已知可得a2＝3， ∴n＝1时上式也成立．
∴an＋1－3an＝2n－2(n∈N*)，an－3an－1＝2(n－1)－2(n≥2)． 两式相减，得(an＋1－an)－3(an－an－1)＝2(n≥2)． ∵bn＝an＋1－an， ∴bn－3bn－1＝2(n≥2)， bn＋1＝3(bn－1＋1)(n≥2)． ∵b1＋1＝3≠0，
∴{bn＋1}是以3为公比，3为首项的等比数列， ∴bn＋1＝3×3n－1＝3n， ∴bn＝3n－1.
1n＋13
∴Tn＝31＋32＋…＋3n－n＝2·3－n－2. (2)由(1)知，an＋1－an＝3n－1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝3＋3＋3＋…＋3
012n－1
1n
－(n－1)＝2(3＋1)－n.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
4
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1＜an的n的取值为 ( )．
11－2nA．3 C．5
B．4 D．6
448
解析 由an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得
9－2n11－2n?9－2n??11－2n?911*＜n＜，又n∈N，∴n＝5. 22答案 C
??3－a?x－3，x≤7，2．(2014·湖州模拟)设函数f(x)＝?x－6数列{an}满足an＝f(n)，n
?a，x>7，∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 ?9?A.?4，3? ??C．(1,3)
?9?
B.?4，3? ??D．(2,3)
( )．
解析 ∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，
?3－a>0，
∴?a>1，?f?8?>f?7?
答案 D 二、填空题
?2
3．在一个数列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案 28 三、解答题
4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
当n＝1时，a1＝a不适合上式， ?a，n＝1，故an＝? n－1n－2
?2×3＋?a－3?2，n≥2.an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2
n－2?
?3?n－2??12·?2?＋a－3?， ????
?3?n－2
?2?＋a－3≥0?a≥－9. 当n≥2时，an＋1≥an?12·??又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞).
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