北师大版高中数学高二选修1-1学业分层测评14 含解析
学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋3x＋cos x，则f′(x)等于( ) 22
A．3x2＋x-3－sin x B．x2＋1
-3x3－sin x 2C．3x2＋1-23x3＋sin x
D．3x2＋1-3x3－sin x
【解析】 f′(x)＝3x2＋1
-2
3x3－sin x. 【答案】 D
2．函数y＝x2
x＋3的导数是( )
A.x2＋6x?x＋3?2 B．x2＋6xx＋3
C.－2x?x＋3? ．3x22D＋6x?x＋3?2
??x2?′22
【解析】 y′＝?x＋3?′?x＋3??＝?x?′?x＋3?－x·
?x＋3?2
＝
2x?x＋3?－x2
2?x＋3?2
＝x＋6x?x＋3?2
. 【答案】 A
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a等于( A.19
3 B．163 C.133 D．103
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)
【导学号：63470070】
【解析】 f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4， 10∴a＝3. 【答案】 D
4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( ) A．0 C．－2
B．－4 D．2
【解析】 f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)． 即f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2(－2)＝－4. 【答案】 B 5．曲线y＝1A．－2 2
C．－2 【解析】 y′＝
sin x1?π?
－2在点M?4，0?处的切线的斜率为( )
??sin x＋cos x
1B．2 2D．2
cos x?sin x＋cos x?－?cos x－sin x?sin x
?sin x＋cos x?
2
＝1?sin x＋cos x?
2
，
11故k＝2.即曲线在点M处切线的斜率为2. 【答案】 B 二、填空题
6．(2014·广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.
【导学号：63470071】
【解析】 ∵y′＝－5ex，∴所求切线斜率是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是：y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
【答案】 5x＋y＋2＝0
7．函数f(x)＝excos x，x∈0,2π]，且f′(x)＝0则x＝________. 【解析】 f′(x)＝(excos x)′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′ ＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x)，
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由f′(x)＝0，得ex(cos x－sin x)＝0. ∵ex>0，∴cos x－sin x＝0.
π5
∴cos x＝sin x，x∈0,2π]．∴x＝4或4π. π5
【答案】 4或4π
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
【解析】 y′＝3x2－10，由3x2－10＝2，得x＝±2. 又∵P点在第二象限内，∴x＝－2，y＝－8＋20＋3＝15. ∴P(－2,15)． 【答案】 (－2,15) 三、解答题
9．求下列函数的导数． (1)f(x)＝x·tan x； x4(2)f(x)＝. 2＋logax
?xsin x?′
【解】 (1)法一：y′＝(x·tan x)′＝?cos x?
???xsin x?′cos x－xsin x?cos x?′
＝
cos2 x
?sin x＋xcos x?cos x＋xsin2 xsin xcos x＋x＝＝. cos2 xcos2x法二：y′＝(x·tan x)′＝x′·tan x＋x·(tan x)′ sin xcos x＋xx
＝tan x＋cos2 x＝cos2 x.
x4
4x?2＋loga x?－xln a
3
(2)y′＝
?2＋loga x?
2
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＝
x3
8x＋4xloga x－ln a
3
3
?2＋loga x?
2
1??
?8－ln a?x3＋4x3·loga x??＝. 2
?2＋loga x?10．已知函数f(x)＝aln xb
＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求x
x＋1a，b的值．
a??x＋1－ln ?
?【解】 (1)f′(x)＝?xx
??x＋1?2－b
x2.
，且过点(1,1)，故?f(1)＝1，由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－1
2??f′(1)＝－1
2，
即
?b＝1，
??a2－b＝－12.
?解得??a＝1，
?
?b＝1.
所以a＝1，b＝1.
能力提升]
1．设曲线y＝x＋1
x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2 B．12 C．－12
D．－2
【解析】 ∵y＝x＋1
x－1＋2
2
x－1＝x－1＝1＋x－1，
∴y′＝－2
?x－1?
2
. ∴曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线斜率为k＝－1
2，由题意知，ax＋y＋1＝0斜率为k′∴a＝－2.
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2，
＝【答案】 D
2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( ) A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－1,0)
42?x－2??x＋1?
【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2－x＝>0，
x解得x>2，故选C. 【答案】 C
3．若点P是曲线f(x)＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小时点P的坐标为________．
【解析】 过点P作y＝x－2的平行直线l，且与曲线f(x)＝x2－ln x相切．设P(x0，x20－111
ln x0)，则直线l的斜率k＝f′(x0)＝2x0－x，∴2x0－x＝1，∴x0＝1或x0＝－2(舍去)，∴点P
0
0
的坐标为(1,1)．
【答案】 (1,1)
4．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程．
2
【解】 设l与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2))．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为： y－x21＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x21.
①
对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为：y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
2即y＝－2(x2－2)x＋x2－4.
②
因为两切线重合，
??2x1＝－2?x2－2?，所以由①②，得?
22??－x1＝x2－4，
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???x1＝0，?x1＝2，解得?或?
???x2＝2，?x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
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